221
правка
Изменения
Новая страница: «== Порядок элемента группы == {{Определение |definition= '''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</te…»
== Порядок элемента группы ==
{{Определение
|definition=
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен.
}}
=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=В конечной группе у всех элементов конечный порядок.
|proof=
Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
}}
[[Категория: Теория групп]]
{{Определение
|definition=
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен.
}}
=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=В конечной группе у всех элементов конечный порядок.
|proof=
Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
}}
[[Категория: Теория групп]]
