Изменения
Новая страница: «{{Теорема |statement= Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепн…»
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь периодична.
|proof=
Число <tex>\alpha</tex> представимо в виде <tex>\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}</tex>. Назовём это видом Х.
Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha]</tex>. Заметим, что <tex>\alpha_1>1</tex>. Преобразуем: <tex>\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrd{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrd{D})}{(a-qc)^2-D}</tex>. Заметим, что <tex>(a-qc)^2-D\vdots c</tex>, значит <tex>\alpha_1</tex> представима в виде Х. Докажем, что <tex>\alpha_1</tex> приведённая. <tex>\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}</tex>. Но <tex>\overline{\alpha}\in (-1;0), [alpha]>1</tex>, значит <tex>\overline{\alpha_1}\in(-1;0)</tex>.
Посмотрим теперь на возможные значения <tex>a</tex> и <tex>c</tex>. <tex>\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrd{D}}{c}</tex>, откуда из возможных значения <tex>\alpha, \overline{\alpha}</tex>, следует <tex>c\in(0;2\sqrd{D})</tex>. Теперь ограничим a. <tex>\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}</tex>, отсюда <tex>a>0</tex>. <tex>\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrd{D}}{c}\Rightarrow a < \sqrd{D}</tex>.
Количество <tex>a,c</tex> конечно, а количество<tex>\alpha_n</tex> неограниченно. Значит в какой-то момент у нас зациклятся <tex>\alpha_n</tex> и цепная дробь станет периодичной.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь чисто периодична.
|proof=
Докажем аналогичное утверждение <tex>\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}</tex>.
Введём <tex>\beta_i=-\frac{1}{(\overline{\alpha_i})}\in(1;+\infty) \Rightarrow \alpha_i=-\frac{1}{(\overline{\beta_i})}</tex>.
}}
|statement=
Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь периодична.
|proof=
Число <tex>\alpha</tex> представимо в виде <tex>\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}</tex>. Назовём это видом Х.
Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha]</tex>. Заметим, что <tex>\alpha_1>1</tex>. Преобразуем: <tex>\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrd{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrd{D})}{(a-qc)^2-D}</tex>. Заметим, что <tex>(a-qc)^2-D\vdots c</tex>, значит <tex>\alpha_1</tex> представима в виде Х. Докажем, что <tex>\alpha_1</tex> приведённая. <tex>\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}</tex>. Но <tex>\overline{\alpha}\in (-1;0), [alpha]>1</tex>, значит <tex>\overline{\alpha_1}\in(-1;0)</tex>.
Посмотрим теперь на возможные значения <tex>a</tex> и <tex>c</tex>. <tex>\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrd{D}}{c}</tex>, откуда из возможных значения <tex>\alpha, \overline{\alpha}</tex>, следует <tex>c\in(0;2\sqrd{D})</tex>. Теперь ограничим a. <tex>\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}</tex>, отсюда <tex>a>0</tex>. <tex>\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrd{D}}{c}\Rightarrow a < \sqrd{D}</tex>.
Количество <tex>a,c</tex> конечно, а количество<tex>\alpha_n</tex> неограниченно. Значит в какой-то момент у нас зациклятся <tex>\alpha_n</tex> и цепная дробь станет периодичной.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь чисто периодична.
|proof=
Докажем аналогичное утверждение <tex>\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}</tex>.
Введём <tex>\beta_i=-\frac{1}{(\overline{\alpha_i})}\in(1;+\infty) \Rightarrow \alpha_i=-\frac{1}{(\overline{\beta_i})}</tex>.
}}
