355
правок
Изменения
→Интегральный признак Коши
=== Признак Даламбера ===
=== Интегральный признак Коши === {{Теорема|about = Интергральный признак Коши|statement = Пусть <tex>f</tex> монотонна на <tex>[1, +\infty)</tex>. Тогда ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex> и интеграл <tex>\underset{1}{\overset{+\infty}{\int}}f</tex> сходятся или расходятся одновременно.|proof =Для определенности предположим, что <tex>f</tex> убывает. Если <tex>f(x_0)<0</tex> при некотором <tex>x_0</tex>, то в силу убывания <tex>\underset{x\to+\infty}{\lim}f(x)\le f(x_0)<0</tex>, а тогда и ряд, и интеграл расходятся к <tex>-\infty</tex> по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что <tex>f\ge0</tex>. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат <tex>[0,+\infty]</tex>. Поскольку <tex>f</tex> убывает, <tex>\forall k\in\mathbb{N} f(k+1)\le\int_k^{k+1}f\le f(k)</tex>. Возьмём <tex>n\in\mathbb{N}</tex> и пронумеруем эти неравенства по <tex>k</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>: <tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(k+1)\le\int_1^{n+1}f\le \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(k)</tex>. Сделав в левой части замену индекса и устремив <tex>n</tex> к <tex>\infty</tex>, получим неравенство <tex>\underset{k=2}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)\le\int_1^{+\infty}f\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex>, откуда следует, что сумма и интеграл конечны или нет одновременно.}}
=== Признак Раабе ===
