12
правок
Изменения
Стрелки
{{Определение
|id=knuth_counter
|definition= '''Счетчик Кнута''' (англ. ''Knuth's Counter'') {{---}} структура данных, представленная избыточной двоичной системой счисления, где в которой добавление единицы к числу и вычитание единицы выполняется за <tex>O(1)</tex>.
}}
{{Определение
|id=knuth_counter
|definition= Неотрицательное целое число <tex>N</tex> в '''избыточной двоичной системе счисления''' записывается в виде последовательности разрядов <tex>(d_n d_{n-1} \dotsc d_2 d_1)</tex>, где <tex>n</tex> обозначает количество разрядов в числе, <tex>d_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>–й разряд числа <tex>(1 \leqslant i \leqslant n)</tex>, причем <tex>d_i \in \{0,1,2\}</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^n d_i \cdot 2^i = N.
</tex>
}}
== Счетчик Кнута ==
==== Описание алгоритма операции инкремента ====
Оригинальный алгоритм метод предложен Кнутом, и состоит из двух правил:
# Найти младший разряд <tex>d_i</tex> равный <tex>2</tex> и, если таковой имеется, заменить последовательность <tex>(\dotsc d_{i+1}d_i\dotsc)</tex> на <tex>(\dotsc (d_{i+1}+1)0\dotsc)</tex>
# Заменить <tex>d_1</tex> на <tex>d_1+1</tex>.
Чтобы достичь необходимой оценки и не выполнять каждый раз поиск для первого правила, можно хранить односвязный [[CписокСписок|список]] позиций двоек в числе. Тогда чтобы найти младший разряд равный двум нужно просто взять первый элемент списка. Также, непосредственно перед изменением значений разрядов в правилах необходимо выполнять следующее:
# Если <tex>d_{i+1}=1</tex>, то заменить первый элемент списка с <tex>i</tex> на <tex>i+1</tex>, иначе удалить его.
Проблемой может оказаться появление двух последовательных двоек, при этом перое правило может породить
тройку. То есть недопустима следующая ситуация <tex>(\dotsc 22\dotsc ) \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 30\dotsc)</tex>.В свою очередь такая ситуация получается из этой <tex>(\dotsc 212\dotsc ) \overset{Inc} {\rightarrow longmapsto} (\dotsc 220\dotsc)</tex>.
Причем количество единиц между двойками может быть любое, в итоге это приведет к появлению тройки.
Однако если между любой парой двоек всегда будет находится хотя бы один
поддерживается после инкремента, рассмотрев возможные ситуации:
: Число двоек не изменяется
:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 0 ) \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 20\dotsc 1)</tex>.:: <tex>(\dotsc 02\dotsc 1 ) \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 2)</tex>.:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 02\dotsc ) 1 \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 10\dotsc 2</tex> ) (частный случай предыдущего).:: <tex> (\dotsc 12 ) \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 21)</tex>.
: Пропадает одна двойка
:: <tex> (\dotsc 02\dotsc 0 ) \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 1)</tex>.:: <tex> (\dotsc 02 ) \overset{Inc} {\rightarrow longmapsto} (\dotsc 11)</tex>.
: Появление новой двойки
:: <tex>(\dotsc 1 ) \overset{Inc} {\rightarrow longmapsto} (\dotsc 2)</tex> (имеется в виду появление единственной двойки).:: <tex>(\dotsc 12\dotsc 1 ) \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 20\dotsc 2)</tex>.:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 1 ) \rightarrow overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 20\dotsc 2)</tex> (частный случай предыдущего).
Таким образом мы видим, что <tex>0</tex> всегда сохраняется.
{{Определение
|id=b_ary_rr
|definition=В общем случае подобные счётчики называются подобное представление называется '''<tex>b</tex>-ричными избыточными счетчикамипредставлением''' (''ИС'ИП''', англ. ''b-ary redundant representation''), которые похожи которое похоже на счетчик представление в счетчике Кнута, но основание системы может быть произвольным, то есть <tex>d_i \in \{0,1,\dotsc ,b\}</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^n d_i \cdot b^i = N</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} основание. Такие счетчики позволяют Оно позволяет прибавить единицу к любому разряду, то есть увеличить число на <tex>b^i</tex> за <tex>O(1)</tex>
}}
{{Определение
|id=regular_rr
|definition= Назовем представление '''регулярным''' (англ. ''regular''), если между дувумя разрядами равными <tex>b</tex> есть хотя бы один разряд отличный от <tex>b-1</tex>.
}}
{{Определение
|id=fixup
|definition= Операция '''исправления''' (англ. ''fix'') разряда <tex>d_i=b</tex> в регулярной <tex>b</tex>-ричного счетчика <tex>d</tex> регулярном ИП увеличивает <tex>d_{i+1}</tex> на <tex>1</tex> и устанавливает <tex>d_i</tex> в <tex>0</tex>, образуая новый регулярный счетчикновое регуляроне ИП, представляющий представляющее то же число, что и <tex>d</tex>.
}}
Чтобы добавить <tex>1</tex> к разряду <tex>d_i</tex> регулярного ИС ИП <tex>d</tex>,нужно сделать следующеевыполнить следующие действия:
# Если <tex>d_i=b</tex>, исправить <tex>d_i</tex>.
# Если <tex>d_i=b-1</tex> и самый младший значащий разряд <tex>d_j</tex>, такой, что <tex>j>i</tex> и <tex>d_j \ne b-1</tex>, равен <tex>b</tex> (т.е. <tex>d_j=b</tex>), применить операцию исправления к разряду <tex>d_j</tex>.
разряд по указателю вперед (п. 2).
Такое представление позволяет увеличиать увеличивать произвольный разряд на единицу за константное
время. Обновление указателя вперед происходит следующим образом: когда <tex>d_{i+}</tex> становится равен <tex>b-1</tex> при исправлении разряда <tex>d_{i-1}</tex>, устанавливаем указатель вперед разряда <tex>d_{i}</tex> на <tex>d_{i+1}</tex>, если <tex>d_{i+1}=b</tex>, либо копируем указатель вперед из <tex>d_{i+1}</tex> в <tex>d_{i}</tex>, если <tex>d_{i+1}=b-1</tex>.
При собственно добавлении единицы к разряду <tex>d_i</tex>, также необходимо обновлять его указатель вперед аналогичным образом,
== Смотрите также ==
* [[Амортизационный анализ]]
* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|Представление целых чисел]]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Амортизационный анализ]]
