141
правка
Изменения
м
→Хроматический многочлен дерева: добавляю ссылку на теорему 4 о коэффициентах
Обратно, пусть <tex>G</tex> - граф, у которого <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>. Тогда верны 2 следующих утверждения:<br />
1. Граф <tex>G</tex> связен, потому что если было бы 2 компоненты связности (или больше), то <tex>P(G,x)</tex> делился бы на <tex>x^2</tex> без остатка.<br />
2. В графе <tex>G</tex> количество рёбер равно <tex>n-1</tex>, так как по теореме одной из теорем о коэффициентах хроматического многочлена([[Хроматический многочлен#Коэффициенты хроматического многочлена|Коэффициенты хроматического многочлена]], теорема 4), количество рёбер в графе соответствует коэффициенту при <tex>x^{n-1}</tex>, взятому со знаком минус. В нашем случае, этот коэффициент удобно искать, используя бином Ньютона:<br />
<tex>{P(G,x)=x(x-1)^{n-1}=x(x^{n-1}-\begin{pmatrix}n-1\\1\end{pmatrix}x^{n-2}+\begin{pmatrix}n-1\\2\end{pmatrix}x^{n-3}-...+(-1)^{n-1})=x^{n}-(n-1)x^{n-1}+...+(-1)^{n-1}x}</tex><br />
Из этих двух утверждений (связность и <tex>n-1</tex> ребро) следует, что граф <tex>G</tex> является деревом (см. [[Дерево, эквивалентные определения]], теорема, утверждения 1 и 3).
}}
== Рекуррентные формулы для хроматических многочленов ==
== Коэффициенты хроматического многочлена ==
