146
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex> F(i) = i - 2^{h(i)} + 1, </tex> где <tex> h(i) </tex> - количество единиц в конце бинарной записи числа <tex> i </tex>.
Эта функция задается простой формулой: <tex> F(i) = i \And (i + 1) </tex>, где <tex> \And </tex> — это операция побитового логического "И".
== Запрос изменения элемента ==
{{Лемма
|statement= Можно перебрать все <tex> i </tex>, попадающие под неравенство по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>, где <tex> \mid </tex> — это операция побитового логического "ИЛИ".
|proof=Первый элемент последовательности само <tex> k </tex>. Для него выполняется равенство, так как <tex> F(i) < i </tex>. По формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> мы заменим первый ноль на единицу. Неравенство при этом сохранится, так как <tex>F(i)</tex> осталось прежним, а <tex> i </tex> увеличилось. Можем заметить, что если количество единиц в конце не будет совпадать с <tex> k </tex>, то формула <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> нарушит неравенство, потому что либо само <tex> i </tex> будет меньше, чем k, либо <tex> F(i) </tex> станет больше, чем <tex> k </tex>. Таким образом, перебраны будут только нужные элементы}}
Все <tex>i</tex> мы можем получить следующим образом : <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>, Где под | понимают побитовое ИЛИ. Следующим элементом в последовательности будет элемент, у которого первый с конца ноль превратится в единицу. Можно заметить, что если к исходному элементу прибавить единицу, то необходимый ноль обратится в единицу, но при этом все следующие единицы обнулятся. Чтобы обратно их превратить в единицы, применим операцию побитового ИЛИ. Таким образом все нули в конце превратятся в единицы и мы получим нужный элемент. Для того, чтобы понять, что эта последовательность верна, достаточно посмотреть на таблицу.
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
