1302
правки
Изменения
→Метрика и метрическое пространство
==Метрика и метрическое пространство==
Пусть X - — абстрактное множество.
<tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> - является прямым произведением — прямое произведение множества X на себя
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> является — называется '''метрикой''' на X, если выполнимы выполняются аксиомы# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ; \ \rho (x, y) = 0 \Leftrightarrow iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> - — неравенство треугольника
}}
Числовая ось: <tex> X = \mathbb{R}; x, y \in X \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| </tex> <tex> X = R^n = \underbrace{R \times R \times \dots \times R}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) </tex>
#<tex> \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| </tex>
#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex>
То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство.
== Открытые шары ==
Для метрических пространств основное значение имеют открытые шары.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
<tex>\ r\ </tex> в точке <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество <tex> V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
}}
=== Пример ===
<tex> X = R: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
=== Свойства шаров ===
{{Теорема
|about=
Основное свойство шаров
|statement=
Пусть <tex> b \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex> <br \>
Простым языком: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, лежащий в их пересечении.
|proof=
Замечание: для X = R это очевидно(переcечение двух интервалов есть интервал).
: Пусть <tex> y \in V_{r}(b)</tex>
: <tex> \rho (b, a_j) < r_j, j = 1,2 </tex>
: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_j) < r_j, j = 1,2.</tex>
# <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>
# <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>
: <tex> r = min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
}}
{{Определение
|definition=
Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
: <tex> \tau </tex> — класс открытых множеств.
: <tex> \tau </tex> = { G — открытые в МП <tex>(X, \rho)</tex> }
}}
Свойства открытых множеств:
# <tex> X, \varnothing \in \tau </tex> {{---}} все пространство и пустое множество открыты
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} \in \tau </tex> — очевидно
# <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex>
Доказательство свойства 3:
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
: По основному свойству шаров : <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta </tex>
: Следовательно <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> {{---}} объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> {{---}} тоже объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau</tex> по 2 свойству.
Класс <tex> \tau </tex> называется (метрической) топологией на множестве X.
Если в X выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то любое множество такого класса {{---}} открытое, а пара <tex>(X, \tau)</tex> {{---}} '''топологическое пространство(ТП)'''. В этом смысле МП {{---}} частный случай ТП.
''NB'' : в топологическом пространстве не обязательно вводить
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Открытый шар==
