251
правка
Изменения
→Асимптотика
}}
{{Утверждение|statement= В худшем случае поиск требует <tex>O(2n)</tex> сравнений.
|proof= Так как мы запоминаем последний просмотренный сегмент текста, совпадающий с суффиксом шаблона, это позволяет нам пропускать его при нахождении очередного (нам незачем второй раз просматривать сегмент, про который известно, что он совпадает), что уменьшет число сравнений и хождений по строке. Докажем, что число сравнений после такой оптимизаций будет <tex>O(2n)</tex>. Разобьём поиск на шаги, каждый из которых будет состоять из двух операций: сканирования и сдвига. На шаге <tex>k</tex> мы будем называть <tex>suf_k</tex> длину суффикса шаблона, что совпадает с текстом, перед суффиксом шаблона будет символ, который не совпадает с соответствующим символом в тексте (в случае когда <tex>suf_k</tex> не соответствует длине шаблона). Мы также будем называть <tex>shift_k</tex> длину сдвига, сделанного на шаге <tex>k</tex>.
Рассмотрим три типа шагов в зависимости от характера сканирования и сдвига. Мы говорим, что сдвиг на шаге <tex>k</tex> короткий, если <tex>2shift_k < suf_k + 1</tex>. Тогда эти три типа будут:
# Шаг с последующим шагом с прыжком.и
# Шаг с длинным сдвигом, без последующего шага с прыжком.
# Шаг с коротким сдвигом, без последующего шага с прыжком.
* Если шаг <tex>k</tex> имеет тип (2) или (3), стоимость <tex>cost_k = suf_k + 1</tex>.
Общее количество сравнений , выполняемых алгоритмом это {{---}} сумма стоимостей шагов. Мы хотим доказать, что <tex> \sum cost < 2 \sum shifts</tex>. Во второй <tex> \sum </tex> длину последнего сдвига заменим <tex>m</tex>.
В случае шага типа (1), стоимость соответствует единственному сравнению несовпадающих символов. Другие сравнения, проведенные в течение того же шага, являются
стоимостью последующих шагов.
# <tex>cost_k = 1</tex> очевидным образом меньше, чем <tex>2shift_k</tex>, так как <tex>shift_k > 0</tex>.
# <tex>cost_k = suf_k + 1 \leqslant 2 shift_k</tex>, по определению длинных сдвигов.
# Так как в этой ситуации мы имеем <tex>shift_k < suf_k</tex>, единственный возможный вариант {{---}} обычный сдвиг применяется на шаге <tex>k</tex>. Тогда мы должны это запомнить. На следующем шаге, <tex>k + 1</tex>, мы что-то запомнили, что приводит к возможному турбо-сдвигу. Ситуация на шаге <tex>k + 1</tex>, основная ситуация, когда турбо-сдвиг возможен. Прежде чем продолжить доказательство, мы сначала рассмотрим два случая и установим неравенства (по стоимости шага <tex>k</tex>), которые используем позже.
#* Случай (а): <tex>suf_k + shift_k \leqslant |p|</tex>. По определению турбо-сдвига, мы имеем <tex>suf_k - suf_{k+1} < shift_{k + 1}</tex>. Таким образом, <tex>cost_k = sufk + 1 \leqslant suf_{k+1} + shift_{k+1} + 1 \leqslant shift_k + shift_{k + 1}</tex>.
#* Случай (б): <tex>suf_k + shift_k > |p|</tex>. По определению турбо-сдвига, мы имеем <tex>suf_{k+1} + shift_k + shift_{k + 1} \geqslant m</tex>. Тогда <tex>cost_k \leqslant m \leqslant 2shift_k - 1 + shift_{k + 1}</tex>.
