403
правки
Изменения
м
, то Тогда в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа.
minor fixes
==Метрика и метрическое пространство==
Пусть <tex>X — </tex> {{---}} абстрактное [[Множества|множество]].
<tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> — {{---}} прямое произведение множества <tex>X </tex> на себя
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> — {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> — {{---}} неравенство треугольника
}}
Если на <tex>X </tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется '''метрическим пространством''', аббревиатура — '{{---}} ''МП'''.
=== Примеры ===
Числовая ось: <tex> X = \mathbb{R}; x, y \in X \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| </tex>
<tex> X = \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R } \times \mathbb{R } \times \dots \times \mathbb{R}}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) </tex>
#<tex> \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| </tex>
#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex>
=== Пример ===
<tex> X = \mathbb{R}: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
=== Свойства шаров ===
Основное свойство шаров
|statement=
Пусть <tex> b \in V_{r1r_1}(a_1) \cap V_{r2r_2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r1r_1}(a_1) \cap V_{r2r_2}(a_2)</tex> <br \>
Простым языком: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, лежащий в их пересечении.
|proof=
Замечание: для <tex>X = \mathbb{R }</tex> это очевидно(переcечение двух интервалов есть интервал).
: Пусть <tex> y \in V_{r}(b)</tex>
: <tex> \rho (b, a_j) < r_j, j = 1,2 </tex>
: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_j) < r_j, j = \overline{1,2}.</tex>
# <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>
# <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>
: <tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
}}
Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
: <tex> \tau </tex> — класс открытых множеств.
: <tex> \tau = \{ G </tex> = { G — {---}} открытые в МП <tex>(X, \rho)\}</tex> }
}}
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
: По основному свойству шаров : <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta </tex>
: Следовательно <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> {{---}} объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> {{---}} тоже объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau</tex> по 2 свойству.
Класс <tex> \tau </tex> называется (метрической) топологией на множестве <tex>X</tex>.
Если в <tex>X </tex> выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то пара <tex>(X, \tau)</tex> называется '''топологическим пространством'''(ТП). В этом смысле МП {{---}} частный случай ТП.
== Замкнутые множества ==
<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>
|proof=
<tex> \rho(x', x'') <= \leq \rho(x', x) + \rho(x'', x) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0; x' = x'' </tex>
На самом деле, этот факт {{---}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:
# <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
# <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex>
Частный случай на МП:
|statement=
F - замкнуто, если оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. <br />
F - замкнуто <tex> \Leftrightarrow iff \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>
|proof=<br />
: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>
