113
правок
Изменения
→Аффинная независимость
}}
===Аффинная независимостьи базисы===
Аналогично с линейной независимостью в векторных пространствах можно ввести аффинную независимость.
{{Лемма
{{Определение
|definition=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> '''аффинно независимо''', если для какого-то <math>i \in I</math> множество <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо.
}}
В аффинном пространстве справедлив факт, подобный единственности разложения вектора в ЛНЗ базис в векторном пространстве.
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math> — множество точек из <math>A</math>. Пусть <math>x \in A</math> представима в виде аффинной комбинации <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math>. Тогда набор коэффициентов аффинной комбинации <math>\{\lambda_i\}_{i=0}^n</math>, что <math>x = \sum_{i=0}^n \lambda a_i</math>, единственен тогда и только тогда, когда набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> линейно независим.
|proof=Поскольку <math>x = a_0 + \overrightarrow{a_0 x}</math>, то если множество <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> ЛНЗ, то существует единственное разложение
<math> \displaystyle
x = a_0 + \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}
</math>.
Тогда
<math> \displaystyle
x = \left(1 - \sum_{i=0}^n \lambda i \right) a_0 + \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i
</math>,
значит, разложение существует.
Единственность '''туду'''.
}}
Имеет смысл определить понятие базиса в аффинном пространстве.
{{Определение
|definition=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> будет называться '''аффинным базисом''' этого пространства, если множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> будет базисом <math>V</math>. '''Координатами''' точки будут коэффициенты её аффинного разложения в этом базисе.
}}
