Изменения
→Критерий Тарьяна
Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда для любого ребра, не принадлежащего остову, цикл, образуемый этим ребром при добавлении к остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.
|proof=
Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально. Если для какого-то ребра оказалось, что оно легче некоторых рёбер образуемого цикла, то можно получить остов с меньшим весом, добавив это ребро в остов, и удалив самое тяжелое ребро из цикла. Если же это условие не выполнилось ни для одного ребра, то вес остова при добавлении не изменится.
Рассмотрим общий алгоритм построения минимального остовного дерева <tex> A </tex>, но сначала, ознакомившись с определением [[Лемма о безопасном ребре|безопасного ребра]].
В результате алгоритма получится минимальное остовное дерево <tex> A </tex>, состоящее полностью из безопасных ребер, так как на каждом шаге добавлялось безопасное ребро.
Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex> (u, v) </tex>, причем <tex> u \in S </tex>, а <tex> v \in T </tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, то какое-нибудь ребро <tex> (a, b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез <tex> (S, T) </tex>. Очевидно, что <tex> w(au, bv) \leqslant w(ua, vb) </tex>, так как второе {{---}} безопасное ребро.
}}
