43
правки
Изменения
Новая страница: «'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайно…»
'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается <tex>D[X]</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{var}\,X</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
== Определение ==
Пусть <tex>\displaystyle X</tex> — случайная величина, определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда
: <tex>D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right] </tex>
где символ <tex>M</tex> обозначает математическое ожидание.
== Замечания ==
* В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
*: <tex>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;</tex>
== Свойства ==
* Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: <tex>D[X] \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[X]=0,</tex> то <tex>X =M[X]</tex> [[почти всюду]];
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{cov}(X, Y)</tex>, где <tex>\! \text{cov}(X, Y)</tex> — их [[ковариация]];
* <tex>D\left[aX\right] = a^2D[X];</tex>
* <tex>D\left[-X\right] = D[X];</tex>
* <tex>D\left[X+b\right] = D[X].</tex>
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
== Определение ==
Пусть <tex>\displaystyle X</tex> — случайная величина, определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда
: <tex>D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right] </tex>
где символ <tex>M</tex> обозначает математическое ожидание.
== Замечания ==
* В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
*: <tex>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;</tex>
== Свойства ==
* Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: <tex>D[X] \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[X]=0,</tex> то <tex>X =M[X]</tex> [[почти всюду]];
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{cov}(X, Y)</tex>, где <tex>\! \text{cov}(X, Y)</tex> — их [[ковариация]];
* <tex>D\left[aX\right] = a^2D[X];</tex>
* <tex>D\left[-X\right] = D[X];</tex>
* <tex>D\left[X+b\right] = D[X].</tex>
