Изменения

Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью.

Докажем по индукции, что вероятность получить любой перфикс <tex> P </tex> равна <tex dpi = "120"> S(P)\over{C(n)} </tex>, где <tex> C(n) </tex> {{---}} число различных комбинаторных объектов данного типа длины <tex> n </tex>, а <tex> S(P) </tex> {{---}} число различных комбинаторных обьектов длины <tex> n </tex> с таким префиксом.

*Любой комбинаторный объект имеет пустой перфикс, следовательно <tex> S(\varnothing)=C(n) </tex>. Вероятность получить любой префикс <tex> P </tex> длины <tex> 1 </tex> равна <tex> S(P)\over{S(\varnothing)} </tex>, что равно <tex> S(P)\over{C(n)} </tex>.

*Вероятность получить из <tex> P </tex> любой префикс <tex> P' </tex> длины <tex> l+1 </tex> равна <tex> S(P')\over{S(P)} </tex> , следовательно вероятность получить префикс <tex> P' </tex> равна <tex> S(P)\over{C(n)} </tex><tex>\cdot</tex><tex> S(P')\over{S(P)} </tex> что равно <tex> S(P')\over{C(n)} </tex>

Результат работы алгоритма является префиксом <tex> P </tex> размера <tex> n </tex> и для любого такого префикса существует только один комбинаторный объект размера размера <tex> n </tex> , следовательно вероятность получения одинакова для всех различных результатов и равна <tex> 1\over{C(n)} </tex>.

Рассмотрим алгоритм получения случайного битового вектора. В битовом векторе может находиться только два типа элементов: <tex> 0 </tex> и <tex> 1 </tex>, следовательно <tex> k = 2 </tex>. Заметим что для любого префикса длины <tex> l </tex> число возможных комбинаторных объектов длины <tex> n </tex> одинаково и равно <tex> 2^{n-l} </tex>, следовательно на каждом шаге алгоритма небходмо выбирать с равной вероятностью <tex> 0 </tex> или <tex> 1 </tex>

Сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) </tex>, так как в случае двоичных векторов <tex> k </tex> постоянно и равно <tex> 2 </tex>.

Рассмотрим алгоритм получения случайной [[Правильные скобочные последовательности|правильной скобочной последовательности]]. Правильная скобочная пследовательность состоит из двух типов элементов: открывающей и закрывающей скобок, следовательно <tex> k = 2 </tex>.

Итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) + O(n^2) </tex> на преподсчет.

Рассмотрим множество первых <tex> n </tex> натуральных чисел: <tex> N_n = \{1, 2, \ldots, n\} </tex>. Необходимо разбить его на <tex> k </tex> непустых подмножеств <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> с равным распределением вероятности.

Так как на каждом шаге интервал случайных чисел разделяется только на на два диапазона, а всего шагов {{---}} <tex> n </tex> то итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) + O(n^2) </tex> на преподсчет чисел Стирлинга второго рода (если преподсчитать их динамически).

Описаный алгоритм можно применить для получения разбиения множества на случайное число подмножеств. Для этого достаточно случайным образом выбрать число подмножеств из интевала <tex> [1, n] </tex> , так чтобы вероятность получить число <tex> k </tex> была пропорциональна числу способов разбить <tex> n </tex> элементов на <tex> k </tex> подмножеств (что равно <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace</tex>).