Изменения

Будем строить разбиение таким образом, чтобы в результате подмножества <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> оказались отсортированы в лексикографическом порядке (т.е. чтобы для любых <tex>i, j \mid 1 \leqslant i < j \leqslant k </tex> наименьший элемент <tex> B_i </tex> был меньше наименьшего элемента <tex> B_j </tex>). Для этого будем по очереди добавлять каждое число от <tex> n </tex> до <tex> 1 </tex> в одно из подмножеств и для каждого из подмножеств начиная с <tex> B_n </tex> и заканчивая <tex> B_1 </tex> будем выбирать какой элемент будет добавлен в него последним(т.е. будет минимальным).

На каждом шаге префиксом считаем текущее разбиение. Оно характеризуется двумя значениями: <tex> l </tex> — число добавленных элементов и <tex> m </tex> — число подмножеств для которых определен последний элемент. Заметим, что количество разбиений на подмножества с заднным префиксом равно числу способов разбить еще не добавленные элементы на еще не законченные подмножества так, чтобы они оказались лексикографически упорядочены, то есть равно числу разбиений <tex> n-l </tex> элементов на <tex> k-m </tex> непустых подмножеств, что равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l\atop }{k-m}\rbrace</tex> (т.е [[Числа Стирлинга второго рода|числу Стирлинга второго рода]]). Таким образом из префикса <tex> P </tex> мы можем получить следующий префикс <tex> P' </tex> двумя способами: *Добавить текущий элемент (<tex> n-l </tex>) в одно из <tex> k-m </tex> незаконченных подмножеств. В таком случае число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m}\rbrace</tex>> .*Сделать текущий элемент последним в подмножестве <tex> B_{k-m} </tex> . В таком случае это подмножество станет законченым, следовательно число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m-1}\rbrace</tex>.Таким образом на каждом шаге интервал случайных чисел <tex> [0, s] </tex> (где <tex> s = </tex><tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l\atop }{k-m}\rbrace</tex>) , будет разбиваться на два диапазона размерами <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m-1}\rbrace</tex> и <tex> (k-m)\cdot </tex><tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m}\rbrace</tex>. Если случайно сгенерированное число попадет в первый диапазон, то сделаем <tex> n-l </tex> последним элементом в подмножестве <tex> B_{k-m} </tex> . Иначе добавим <tex> n-l </tex> в случайно выбранное из незаконченных подмножеств (<tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_{k-m}\} </tex>).

Описаный алгоритм можно применить для получения разбиения множества на случайное число подмножеств. Для этого достаточно случайным образом выбрать число подмножеств из интевала <tex> [1, n] </tex> , так чтобы вероятность получить число <tex> k </tex> была пропорциональна числу способов разбить <tex> n </tex> элементов на <tex> k </tex> подмножеств (что равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n\atop }{k}\rbrace</tex>).

Разделим интервал случайных чисел <tex> [1, s] </tex> (где <tex> s = </tex> <tex dpi="180"> \sum\limits_{i=1}^{n}{\genfrac{\leftlbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n\atop }{i}\right\}</tex>) на <tex> n </tex> диапазонов, так чтобы размер диапазона <tex> d_i </tex> был равен <tex dpi = "180"> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n\atop }{i}\rbrace </tex>. С помощью функции для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в интервале <tex> [1, s] </tex> и выберем количество подмножеств <tex> k </tex> соответствующее диапазону отрезка в которм находится полученное число и по выбранному <tex> k </tex> получим случайное разбиение множества размера <tex> n </tex> на <tex> k </tex> подмножеств.