Изменения

# Докажите, что $\sum_sum\limits_{k=0}^n {m+k \choose k}={m+n+1 \choose n}$.# Докажите, что $\sum_sum\limits_{k=0}^n {k \choose m}={n+1 \choose m+1}$.# Докажите, что $\sum_sum\limits_{k=0}^n {r \choose k}{s \choose n - k}={r+s \choose n}$.# Докажите, что $\sum_sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}\left(\frac{r}{2} - k\right)=\frac{m+1}{2}{r \choose m+1}$. // Забавно, что нет простого выражения для $\sum_sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}$.

# Докажите, что $\sum_ksum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n - k}={r+s \choose m+n}$. В этом и следующих заданиях сумма берётся по всем допустимым целым $k$.# Докажите, что $\sum_ksum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n + k}={r+s \choose r-m+n}$# Докажите, что $\sum_ksum\limits_k(-1)^k{r \choose m + k}{s+k \choose n}=(-1)^{r+n}{s-m \choose n-r}$# Докажите, что $\sum_ksum\limits_k(-1)^k{r-k \choose m}{s \choose k-n}=(-1)^{r+n}{s-m-1 \choose r-m-n}$# Докажите, что $\sum_ksum\limits_k{m-r+s\choose k}{n+r-s \choose n-k}{r+k \choose m+n}={r \choose m}{s \choose n}$# Вычислите сумму $\sum_sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.# Докажите, что $\sum_k sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).