Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow\ F</tex> {{---}} замкнуто.
|proof=
Рассмотрим <tex> x \notin F </tex>. Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Если Достаточно доказать, что <tex> G </tex> {{---}} открытое, то . Тогда <tex> F </tex> {{---}} [[#Замкнутые множества|по определению]] замкнутое множество (по определению).
Тогда Докажем от противного. Если <tex> G </tex> {{---}} открытое множество, то тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению {{---}} <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> {{---}} открытое множество), причём, всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> {{---}} центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> {{---}} его радиус). <br>При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.
Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex>
