1679
правок
Изменения
м
все
1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых
множеств.
Пусть <tex>A </tex> и <tex>B </tex> — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве <tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
2. Принцип вложенных отрезков.
34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда.
Классический способ суммирования:
<tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда.
{{Определение
|definition=
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} S_n</tex> {{---}} сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе {{---}} расходящийся.
}}
{{Утверждение
|statement=
Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое
|proof=
Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} сходится <tex>\iff</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0</tex>.
35. Интегральный признак Коши сходимости рядов.
{{Утверждение
|statement=
Пусть при <tex>x \geq 1</tex> определена функция <tex>y = f(x)</tex>, <tex>y</tex> убывает, <tex>y \geq 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty f(k)</tex>.
}}
36. Ряды и теорема Лейбница.
{{Определение
|definition=
Знакочередующийся ряд, в котором <tex>a_n</tex> убывает и <tex>a_n</tex> стремится к нулю {{---}} ряд Лейбница
}}
{{Теорема
|author=Лейбниц
|statement=
1. Любой ряд Лейбница сходится.
2. Для остатка такого ряда справедлива оценка <tex>|R_n| \leq |a_{n + 1}|</tex>.
}}
37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.
{{Теорема
|about=
Мертенс
|statement=
Пусть ряд из <tex>a_n</tex> — абсолютно сходящийся, а ряд из <tex>b_n</tex> — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.
}}
