Изменения

Пусть <tex>R(XYZ) </tex> является отношением, где <tex>X</tex>, <tex>Y </tex> и <tex>Z </tex> — неперескающиеся множества атрибутов. Если <tex>R </tex> удовлетворяет функциональной зависимости <tex>X → Y</tex>, то <tex>R </tex> равно соединению ее его проекций по атрибутам <tex>X</tex>, <tex>Y </tex> и Y<tex>X</tex>, <tex>Z</tex>: <tex>R=\pi_XYpi_{XY}(R)⋈ \pi_XZpi_{XZ}(R)</tex>

1. Докажем, что исходное отношение <tex>∀ r ∈ R: π_{XY}(r) ∈ π_{XY}(R), π_{XZ}(r) ∈ π_{XZ}(R) ⇒ r ∈ π_{XY}(R) ⋈ π_{XZ}(R)</tex>— подмножество соединения проекций.

Рассмотрим произвольный кортеж <tex>\supsetr</tex>из отношения <tex>R</tex>.

Для проекций кортежа <tex>r</tex> на <tex>XY</tex> и <tex>XZ</tex> выполняетя: <tex>π_{XY}(r) ∈ π_{XY}(R), π_{XZ}(r) ∈ π_{XZ}(R)</tex>. Таким образом, <tex>r</tex> - подмножество соединения проекций <tex>⇒ ∀ r∈R: r ∈ \pi_{XY}(R)</tex>⋈<tex>\pi_{XZ}(R)</tex>. 2. Докажем, что любой кортеж полученного соединения является кортежем отношения <tex>R</tex>. Рассмотрим кортеж <tex>(x, y, z) ∈ </tex>, принадлежащий соединению <tex>π_{XY}(R) ⋈ π_{XZ}(R) ⇒ </tex> Для того, чтобы <tex>(x, y, z)</tex> был в соеденении, необходимо, чтобы существовали кортежи <tex>(x, y) ∈ π_{XY}, (R)</tex> и <tex>(x, z) ∈ π_{XZ}(R)</tex> Из <tex>Из (x, z) ∈ π_{XZ}(R) ⇒ ∃ y': </tex> следует, что существует кортеж <tex>(x, y', z) ∈ R ⇒ </tex> для некоторого y'. Это означает, что должен существовать кортеж <tex>(x, y') ∈ π_{XY}(R)</tex> Поскольку <tex>X → Y ⇒ ∃! </tex>, существует единственный <tex>y : (x, y) ∈ π_{XY}(R) ⇒ y = y' ⇒ (x, y, z) ∈ R</tex>