Изменения

Теорема| id=1

Число различных битовых векторов равно <tex>2^{n}</tex>.

Число битовых векторов {{---}} это частный случай [[#5 | размещения с повторениями ]] <tex>2</tex> элементов по <tex>n</tex>. Таким образом ответ , количество различных битовых векторов будет равно <tex>2^n</tex>. Смотрите доказательство размещения с повторениями.

Теорема| id=2

Число различных перестановок из <tex>n</tex> элементов равно <tex>P_n = n!</tex>

Перестановка {{---}} это частный случай [[#4 | размещения ]] <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> при <tex>k = n</tex>. Таким образом смотрите доказательство размещений., количество различных перестановок будет равно <tex>n!</tex>

Теорема| id=3

Число различных перестановок с повторениями из <tex>k</tex> элементов с различными <tex>n</tex> группами одинаковых элементов равно <tex>\widetilde{P}_k (k_1, k_2, \ldots, k_n) = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>

Пусть нам нужно найти количество перестановок с повторениями на множестве <tex>A</tex> в котором <tex>k</tex> элементов. Будем учитывать, что в этом множестве <tex>n</tex> групп одинаковых элементов. Таким образом количество Количество перестановок из <tex>k</tex> элементов, не учитывая того факта, что элементы могут быть одинаковые , будет равна <tex>k!</tex> , однако мы также должны учитывать то, что у нас <tex>n</tex> групп с одинаковыми элементами.

В каждой итоговой перестановке у нас будет несколько раз учитываться ситуации с одинаковыми элементами ровно столько раз, сколько можно получить перестановок из <tex>k_i</tex>. Таким образом количество перестановок с одинаковым первым элементом будет равно <tex>k_1!</tex>, для второго элемента {{---}} <tex>k_2!</tex>. Общее количество идентичных перестановок будет равно произведению данных факториалов. Итого одинаковых перестановок {{---}} <tex>k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot m_n!</tex>. Ответом будем являться число, если поделить все количество частное количества всех перестановок, на количество и количества одинаковых. Ответ {{---}} <tex>\frac{k!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} </tex>

Теорема| id=4

Число различных размещений из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>

При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различных значенийразличными способами. При любом каждом первом элементе, все что осталось образует размещение из оставшегося множества, то есть <tex>(n-1)</tex> элементов, по <tex>(k - 1)</tex> из оставшегося множества. Таким образом Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>A_{n}^{k}=n \cdot A_{n-1}^{k-1}</tex>. Отсюда получаем <tex>A_{n}^{k} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>

Теорема| id=5

Число различных размещений с повторениями из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>\widetilde{A}_n^k = n^k</tex>

При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различных значенийразличными способами. При любом каждом первом элементе, все что осталось образует размещение с повторениями из того же самого множества, то есть из n элементов, по <tex>(k - 1)</tex> из того же множества. Таким образом Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>\widetilde{A}_n^k = n \cdot \widetilde{A}_{n}^{k-1}</tex>. Таким образом Отсюда получаем <tex>\widetilde{A}_n^k=n \cdot n \ldots = n^k </tex>

Теорема| id=6

Число различных сочетаний из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>

Рассмотрим все размещения из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex>. Их <tex>A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. В каждом размещении выбраны какие -то <tex>k</tex> элементов из данного множества. Если игнорировать порядок этих выбранных <tex>k</tex> элементов, мы получим некоторые сочетания из данного множества по <tex>k</tex>. Другими словами, размещение с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов задают одно и то же сочетание по <tex>k</tex> элементов.

Таким образом так Так как размещения с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов различаются только порядком элементов и число различных перестановок из <tex>k</tex> элементов равно <tex>k!</tex>, то итоговая формула будет равна <tex> C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>

Теорема| id=7

Число различных сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>\widetilde{C}^k_n = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex>

Рассмотрим вектор из <tex>(n+k-1)</tex> координатами координат, состоящий из нулей и единиц, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей и <tex>k</tex> единицамиединиц.

Получаем, что каждому сочетанию с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> соответствует некоторый вектор из нулей и единиц с <tex>(n+k-1)</tex> координатами, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей, и . Также наоборот, по каждому такому вектору однозначно восстанавливается сочетание с повторением, ему соответствующее. Значит число сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> совпадает с числом таких векторов.