Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Дирака

806 байт убрано, 15 апрель
бред написан какой-то
{{Лемма
|about=о длине цикла
|statement= Пусть <tex>G</tex> {{- --}} произвольный [[Основные определения теории графов#def_undirected_graph_1|неориентированный граф ]] и <tex>\delta</tex> {{--- }} минимальная [[Основные определения теории графов#def_graph_degree_1|степень ]] его вершин. Если <tex>\delta \ge geqslant 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует [[Основные определения теории графов#def_graph_cycle_1|цикл ]] <tex>C</tex> длиной <tex>l \ge geqslant \delta + 1</tex>.
|proof=
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 .. \dots v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = \max\{i: v_0 v_i \in E\}</tex>. Тогда <tex>\delta \le leqslant \deg\ v_0 \le leqslant k</tex>. Цикл <tex>C = v_0 v_1 .. \dots v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \ge geqslant \delta + 1</tex>
}}
==ТеоремаАльтернативное доказательство==
{{Теорема
|about=Дирак{{---}} альтернативное доказательство
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{- --}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{--- }} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \ge geqslant 3</tex> и <tex>\delta \ge geqslant n/2</tex>, то <tex>G</tex> {{--- }} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].
|proof=
Пусть Для <tex>C</tex> - цикл наибольшей длины в графе <tex>G</tex>. По лемме его длина <tex>l \ge \delta + 1forall k</tex>. Если верна импликация <tex>C</tex> - гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е. <tex>G \backslash C \ne d_k \varnothingleqslant k </tex>. Рассмотрим путь <tex>P = x..y : P \cap C = \{y\}</tex> наибольшей длины <tex>m</tex>. Заметим, что по условию <tex>\delta \ge n/2</tex>, а значит <tex>\delta \ge Rightarrow d_{n - k} \delta > geqslant n - l = |V(G \backslash C)|</tex> и каждая вершина из <tex>G \backslash C</tex> смежна с некоторыми вершинами из <tex>Ck</tex>.Заметим, что вершина <tex>x</tex> не может быть смежна:* с вершинами из <tex>C</tex>, расстояние от которых до <tex>y</tex> (по <tex>C</tex>) не превышает mпоскольку левая её часть всегда ложна. Действительно, пусть вершина <tex>v \in C</tex> и расстояние от <tex>v</tex> до <tex>y</tex> Тогда по циклу меньше [[Теорема Хватала | теореме Хватала]] <tex>mG</tex>. Тогда этот участок цикла можно заменить на <tex>v \rightarrow x \rightarrow P \rightarrow y</tex>, длина которого <tex>m + 1</tex>. Таким образом образуется цикл большей длины, что противоречит предположению о максимальности цикла <tex>C</tex>. Отсюда также следует, что <tex>l > 2m</tex>.* двум смежным вершинам на <tex>C</tex>. Пусть <tex>u, v \in C</tex> и <tex>\{(u, v), (u, x), (x, v)\{---}} \in E</tex>. Тогда заменив ребро <tex>(u, v)</tex> на <tex>u \rightarrow x \rightarrow v</tex>, увеличим длину цикла на <tex>1</tex>гамильтонов граф.* вершинам из <tex>G \backslash (C \cup P)</tex>, поскольку <tex>P</tex> максимальный.}}
Получаем {{Теорема|about = Вывод из [[Теорема Оре|теоремы Оре]]|statement = Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>degn \ x geqslant 3</tex> и <tex>\le m + (l - 2m)delta \geqslant n/2 </tex>, то <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].|proof =lВозьмем любые неравные вершины <tex> u, v \in G </2 tex>. Тогда < tex> \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \frac n/2 + \le \deltafrac n 2 = n </tex>. ПротиворечиеПо теореме Оре <tex> G </tex> {{---}} гамильтонов граф.
}}
==Альтернативное доказательствоСм. также==* [[Гамильтоновы графы]]* [[Теорема Хватала]]* [[Теорема Оре]]* [[Теорема Поша]]
{{Теорема== Источники информации ==* [[wikipedia:en:Dirac's_Theorem|about=Дирак Wikipedia {{---}} альтернативное доказательствоDirac's Theorem]]|statement=Пусть <tex>G</tex> - неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин* Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Если <tex>n \ge 3</tex> и <tex>\delta \ge n/''Handbook of Combinatorics'', Volumes 1 and 2</tex>, то . <tex>G</tex> Elsevier (North- гамильтонов графHolland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass.|proof=Для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \le k < n/2 \Rightarrow d_{nISBN 0-262-k} \ge n07169-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложнаX.}}
== Источники ==
Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Handbook of Combinatorics, Volumes 1
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Гамильтоновы графы]]
Анонимный участник

Навигация