Изменения
→Теорема
Пусть <tex>C</tex> - цикл наибольшей длины в графе <tex>G</tex>. По лемме его длина <tex>l \ge \delta + 1</tex>. Если <tex>C</tex> - гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е. <tex>G \backslash C \ne \varnothing</tex>. Рассмотрим путь <tex>P = x..y : P \cap C = \{y\}</tex> наибольшей длины <tex>m</tex>. Заметим, что по условию <tex>\delta \ge n/2</tex>, а значит <tex>\delta \ge n - \delta > n - l = |V(G \backslash C)|</tex> и каждая вершина из <tex>G \backslash C</tex> смежна с некоторыми вершинами из <tex>C</tex>.
Заметим, что вершина <tex>x</tex> не может быть смежна:
* с вершинами из <tex>C</tex>, расстояние от которых до <tex>y</tex> (по <tex>C</tex>) не превышает m. Действительно, пусть вершина <tex>v \in C</tex> и расстояние от <tex>v</tex> до <tex>y</tex> по циклу меньше либо равно <tex>m</tex>. Тогда этот участок цикла можно заменить на <tex>v \rightarrow x \rightarrow P \rightarrow y</tex>, длина которого <tex>m + 1</tex>. Таким образом образуется цикл большей длины, что противоречит предположению о максимальности цикла <tex>C</tex>. Отсюда также следует, что <tex>l > \ge 2m</tex>.
* двум смежным вершинам на <tex>C</tex>. Пусть <tex>u, v \in C</tex> и <tex>\{(u, v), (u, x), (x, v)\} \in E</tex>. Тогда заменив ребро <tex>(u, v)</tex> на <tex>u \rightarrow x \rightarrow v</tex>, увеличим длину цикла на <tex>1</tex>.
* вершинам из <tex>G \backslash (C \cup P)</tex>, поскольку <tex>P</tex> максимальный.
