1679
правок
Изменения
→Полнота: вроде пофиксил треш
|statement=Подмножество нульмерного множества само измеримо и нульмерно.
|proof=
Пусть <tex>A\subsetin \mathcal{A}</tex>, <tex>\mu A = 0</tex>, <tex>B\subset A</tex>, <tex>\forall E\subset X</tex>
Проверим, что <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) - + \mu^*(E\cap\bar B)</tex>
<tex>E\cap B \in \mathcal{subset A}</tex>
Тогда, по монотонности внешней меры, <tex>\mu^*(E\cap B) \leq \mu^*A \leq = \mu A = 0</tex>
<tex>E \cap\bar B \subset E</tex>, <tex>\mu^*(E\cap\bar B) \leq \mu^*E</tex>
Значит, неравенство выполняется. Значит, <tex>B\subset in \mathcal A</tex>, то есть измеримо.
По монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu A</tex>. <tex>\mu A = 0 \Rightarrow \mu B = 0</tex>.
Можно считать, что распространение <tex>m</tex> с <tex>\mathcal{R}</tex> на <tex>\sigma</tex>-алгебру приводит к полной мере.
===Непрерывность(???)===
{{Утверждение
