689
правок
Изменения
м
{{В разработке}}
Нет описания правки
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
|proof=
Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа.[[Критерий существования определённого интеграла#Суммы Дарбу]]
{{TODO|t=Наверно, надо добавить их сюда.}}
}}
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq < y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex>, эти множества измеримы.
<tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>,
<tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} E_ke_k</tex> — дизъюнктны.
Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>. Теперь убедимся, что пределы сумм Лебега-Дарбу на нем совпадают:
Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества:
<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_nx_{n-1}; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.
Значит, так как <tex>\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)</tex>, <tex>\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)</tex> и <tex>\lambda \{x_n\} = 0</tex>, приходим к неравенствам
С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанному доказанной выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана.
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
