304
правки
Изменения
Нет описания правки
Примечание: на этапе выделения подпоследовательности <tex> f_{n_k} </tex>, стремящейся к <tex> f </tex> почти всюду, может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману.
}}
== Всюду плотность <tex>C</tex> в <tex>L_p</tex> ==
{{Теорема
|statement=
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
|proof=
Пусть <tex>f \in L_p</tex>, подберём ограниченную <tex>g</tex>, такую, что <tex>\|f - g\| < \varepsilon / 2</tex>. Пусть <tex>|g| \le K</tex>. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция <tex>\varphi</tex>, что <tex>\mu E(\varphi \neq g) < \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}</tex> и <tex>|\varphi| \le K</tex>. Тогда <tex>\|\varphi - g\|^p = \int_E (\varphi - g)^p d\mu = \int_{E(\varphi \neq g)} (\varphi - g)^p \le (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) < (\varepsilon / 2)^p</tex>, то есть <tex>\|\varphi - g\| \le \varepsilon / 2</tex>.
По неравенству треугольника, <tex>\|f - \varphi\| < \varepsilon</tex>, следовательно, непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.
}}
[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<<]][[Мера подграфика|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
