689
правок
Изменения
исправил баги и добавил переводы строк для повышения читабельности
Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{0\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме:
<tex>-\bar\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>.
В частности, при <tex>\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }</tex> получаем отсюда:
Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)</tex> установлены.
Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex>(<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>.
Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.
}}
