Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

704 байта добавлено, 18:44, 9 июня 2013
м
Нет описания правки
__TOC__
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывен непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.
A — компактный оператор (<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>), <tex> A </tex> — компактный оператор.
Интегральные Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>
X — B-пространство, Ставим задачу: <tex>A \colon B \to By</tex>дано, A — компактный. когда <tex>T Tx= \lambda I - Ay</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?
Ставим задачу<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y дано= \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, когда \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>Tx, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=y\lambda x - A x</tex> разрешимо относительно при любой левой части, причём решения <tex>x?</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.
Далее будем считать <tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx1</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x T = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~operatorname{Ker~}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T </tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker~}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.  Допустим, что <tex>\dim~\operatorname{Ker~}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Но так Так как <tex>A </tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A </tex> — компактный, то <tex>\dim~\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
{{Теорема
689
правок

Навигация