Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

1758 байт добавлено, 19:30, 9 июня 2013
Нет описания правки
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>. В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>. <tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_n \to z </tex>. Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_n </tex>. {{TODO|t=дописать доказательство до концапереписать так, чтобы было понятно, что пользуемся только подпоследовательностью.}} Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_n \to 0, \widehat x_n \to z_n = z, \widehat x = z = A \widehat x </tex>. То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>. <tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex> x_n </tex>, то <tex> \|x_n - z\| \ge \|x_n\| = 1</tex> Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
}}
689
правок

Навигация