689
правок
Изменения
Нет описания правки
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
|proof=
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием. <tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex> Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>. <tex> \dim \operatorname{Ker} B < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex> Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>. Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>. Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса: <tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{TODOn+1} - x\| \ge \frac12 </tex> Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\|t=добавить доказательство1 </tex>. <tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность. <tex> y_{n+p}- y_n = Ax_{n+p}- Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>. Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>. Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>. <tex> T^{m+p=1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>. Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>. Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.
}}
