Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Натуральные числа

2187 байт добавлено, 13 март
удалены ссылки на фикбук
==Операции над натуральными числами==
===Сложение===
Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\. и\. b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:
Пусть <tex>N(S) ---\ — </tex> мощность множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>. Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B ) {\displaystyle N(A\cup B)} N(A\cup B)</tex>.
Здесь, <tex>A ∪ B {\displaystyle A\cup B} A\cup B ---</tex> это объединение множеств <tex>A \ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A \ и \ B</tex> перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
Другое известное определение рекурсивно:
Пусть <tex>n+\ — </tex> следующее за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
Пусть ===Умножение===Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>n+ ---C,\A,\B\</tex> следующее за n натуральное числопорождённых биекциями, например с помощью скобок: <tex>0+ = 1[C], [A], 1+ = 2. Пусть a + 0 = a[B].</tex> Тогда общая сумма арифметическая операция '''умножение''' определяется рекурсивноследующим образом:<tex>[C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\</tex>где: <tex>A \times B={(a + (,\ b+) = \mid a \in A,\ b \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a + ,\ b)+</tex> для всевозможных  <tex>a \in A,\ b \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением. Отсюда 1 + 1  === 1 + 0+ Вычитание= (1 + 0)+ = 1+ = 2Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств.Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C , A , B</tex>порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C],\ [A],\ [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''вычитание''' определяется следующим образом:<tex>[C] = [A] − [B] = [A \backslash B];\</tex>где <tex>A \backslash B = \{ C \in A \mid C \notin B \mid B \subset A \} —\ </tex>разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
==Деление чисел с остатком==
Анонимный участник

Навигация