Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Список заданий по ДМ 2021 весна

3873 байта добавлено, 31 март
Нет описания правки
# Парадокс двух конвертов. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму $X$. В чужом конверте равновероятно может находиться $2X$ или $\frac{X}{2}$. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет $\left(2X+\frac{X}{2}\right)/2 = \frac54X$, то есть больше, чем сейчас. Значит, обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
# Пусть в парадоксе двух конвертов в качестве распределения используется следующее: с вероятностью $\frac{2^n}{3^{n+1}}$ в конверты помещаются суммы $2^n$ и $2^{n+1}$. Покажите, что в этом случае при обмене обмена вероятность получить $2X$ равна $1$, если игрок видит сумму $X=1$ и $\frac{11}{10}X$ в случае $X > 1$. Таким образом обмен выгоден в любом случае. Как такое возможно?
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц не кратно 3.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых встречается подпоследовательность 001.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд. Сделайте вывод из двух последних заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три единицы подряд. Сделайте вывод из двух последних заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых третий символ с конца равен последнему символу.
Анонимный участник

Навигация