Смежные классы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Смежные классы == {{Определение |definition= Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <t…»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex>
+
Левым смежным классом [[группа|группы]] <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex>
 
Аналогично определяется и правый смежный класс <tex>Ha</tex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
 
Аналогично определяется и правый смежный класс <tex>Ha</tex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
 
}}
 
}}
Строка 9: Строка 9:
 
|id=th10
 
|id=th10
 
|statement=  
 
|statement=  
Левые смежные классы <tex>G</tex> по подгруппе <tex>H</tex> либо не пересекаются, либо совпадают.
+
Левые смежные классы <tex>G</tex> по [[Подгруппа|подгруппе]] <tex>H</tex> либо не пересекаются, либо совпадают.
 
|proof=
 
|proof=
 
Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>.
 
Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>.

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022

Смежные классы

Определение:
Левым смежным классом группы [math]G[/math] по множеству [math]H[/math] назовем множество вида [math]aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G[/math] Аналогично определяется и правый смежный класс [math]Ha[/math]. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.


Теорема:
Левые смежные классы [math]G[/math] по подгруппе [math]H[/math] либо не пересекаются, либо совпадают.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса [math]aH[/math] и [math]bH[/math] с общим элементом [math]c[/math]. Докажем, что [math]aH\subseteq bH[/math]. Пусть [math]g=a\cdot h,\,h\in H[/math] принадлежит [math]aH[/math]. Известно: [math]c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}[/math].

Тогда [math]g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH[/math], поскольку [math]h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H[/math]. Значит, [math]aH\subseteq bH[/math]. Аналогично [math]bH\subseteq aH[/math].
[math]\triangleleft[/math]