Редактирование: Собственные векторы и собственные значения

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
== Основные теоремы и определения ==
 
 
===Определения===
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def1.  
 
|id=def1.  
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>  - линейный оператор (ЛО)<br>
+
пусть <tex>A:X \to X</tex>  - линейный оператор (ЛО)<br>
  <tex>x\ne 0_x</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> {{---}} [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\dim L = 1</tex>  
+
  <tex>x\ne 0_x</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>A</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> - инвариантное подпространство <tex>A</tex>, b <tex>dimL = 1</tex>  
 
}}
 
}}
  
Строка 14: Строка 11:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F \colon \mathcal{A}x = \lambda x</tex>
+
пусть <tex>A:X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_x</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>A</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : Ax = \lambda x</tex>
 
}}
 
}}
 +
 +
// здесь лемма что эквивалентны
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 22: Строка 21:
 
|about=
 
|about=
 
|statement=
 
|statement=
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
+
предыдущие 2 утверждения эквивалентны
 
|proof=
 
|proof=
<math> (1) \Rightarrow (2) \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow \mathcal{A}x=\lambda x</math> (единственным образом) <br>
+
<tex> (1)\Rightarrow (2) : x \in L, dim(L)=1 \Rightarrow Ax \in L (x \ne 0_x \Rightarrow basis L = \{x\}), then  Ax =\lambda x</tex> <br>
<tex> (1) \Leftarrow (2) \colon \exists \lambda: \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>
+
<tex> (1) \Leftarrow (2) exists \lambda: Ax=\lambda x \Rightarrow x \in</tex> одном.(одномерному) п.п.
 +
<tex>L =\{x\}, Ax = \lambda x \in L</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 32: Строка 32:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>\mathcal{A}x = \lambda x</tex> называется '''собственным числом (собственным значением)''' ЛО <tex>\mathcal{A}</tex>
+
<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>Ax = \lambda x</tex> называется '''собственным числом(собственным значением)''' ЛО <tex>A</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 39: Строка 39:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
'''Спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br>
+
'''спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br>
<tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>
+
<tex>\sigma (A) = \sigma _A = \{ \lambda _i \}</tex>
 
}}
 
}}
  
  // здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно
+
  // здесь мог быть пример
  
===Свойства===
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1.  
 
|id=th1.  
Строка 51: Строка 50:
 
|about=
 
|about=
 
|statement=
 
|statement=
'''Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
+
'''собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
 
|proof=
 
|proof=
1) База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x_1 \ne 0_x\ \{x_1\}</tex> - ЛНЗ набор.<br>
+
1)база: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x1 \ne 0_x \{x1\} - ЛНЗ</tex>  
2) <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1} \}</tex> - ЛНЗ.  
+
2) <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}</tex> - ЛНЗ. Рассмотрим <tex>\{x1, ..., x_m \} </tex>- доказать что ЛНЗ.
Рассмотрим <tex>\{x_1, ..., x_m \} </tex>- докажем, что тоже ЛНЗ.
 
  
<tex>\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>
+
<tex>\sum\limits_{k=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>
  
<tex>\mathcal{A}( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex>  (1)
+
<tex>A( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex>  (1)
  
<tex>\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex>  (2)
+
<tex>\lambda_m( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex>  (2)
  
(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x</tex>
+
(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_m-1(\lambda_m-1 - \lambda_m)x_m-1 + 0_x = 0_x</tex>
  
По предположению индукции <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ  <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0  ...  \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>
+
по предположению индукции <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ  <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0  ...  \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>
  
<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>
+
<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex>
  
<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex>, т.е. набор ЛНЗ.
+
<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0</tex> те набор ЛНЗ
 
}}
 
}}
 
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 78: Строка 75:
 
|about=
 
|about=
 
|statement=
 
|statement=
Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.
+
множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>A</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.
|proof=
+
|proof= не было у Ани в конспекте. наверное не нужно =)
1) Если <tex>x</tex> {{---}} св, то и <tex> \alpha x</tex> {{---}} тоже св.
 
 
 
2) Если <tex>x,y</tex> {{---}} св, то и <tex>x+y</tex> {{---}} тоже св.
 
 
 
Из 1 и 2 <tex>\Rightarrow</tex> что лемма доказана (по определению подпространства)
 
 
 
 
}}
 
}}
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 93: Строка 83:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
<tex>L = </tex> линейная оболочка <tex>\{</tex> все СВ <tex> x_i \leftrightarrow \lambda_i \}</tex> называют собственным подпространством <tex>X \leftrightarrow</tex> СЗ <tex>\lambda_i</tex>
+
пусть <tex>L = \{</tex> все СВ <tex> x_i \leftrightarrow \lambda_i \}</tex> называют собственным подпространством <tex>\leftrightarrow</tex> СЗ <tex>\lambda_i</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 102: Строка 92:
 
|about=
 
|about=
 
|statement=
 
|statement=
Пусть L - линейная оболочка<tex>\{ </tex> всех <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i\}</tex>
+
пусть L - лин оболочка<tex>\{ </tex> всех <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i\}</tex>
Пусть <tex>X_{\lambda i}</tex> - собственное подпространство X <tex>\leftrightarrow \lambda_i</tex>
+
пусть <tex>X_{\lambda i}</tex> - собственное подпространство X <tex>\leftrightarrow \lambda_i</tex>
Тогда <tex>L = X_{\lambda i}</tex>
+
тогда <tex>L = X_{\lambda i}</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Сначала <tex>\subseteq</tex>  потом <tex>\supseteq</tex>  <tex>\Rightarrow</tex> доказательство (так в конспекте);
+
сначала <tex>\subseteq</tex>  потом <tex>\supseteq</tex>  <tex>\Rightarrow</tex> доказательство
Вообще не понятно, зачем эта лемма, ибо она по определению.
 
 
}}
 
}}
 
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 116: Строка 104:
 
|about= (следствие из теоремы)
 
|about= (следствие из теоремы)
 
|statement=
 
|statement=
У ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>
+
у ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>
|proof=  
+
|proof= не было у Ани в конспекте. наверное не нужно =)
(идет как упражнение)
 
По теореме выше, набор собственных векторов - ЛНЗ набор. <tex>\Rightarrow</tex> их не больше чем размерность пространства, а <tex>dim X = n </tex>.
 
 
}}
 
}}
 
== Поиск СЗ и СВ ==
 
 
<tex>x \ne 0_x</tex> и
 
<tex>\mathcal{A}x = \lambda  x \Leftrightarrow \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I} x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})X = 0 </tex>
 
 
<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix}
 
({\alpha}_{1}^{1}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{2}^{1} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{1} \xi^n \\
 
{\alpha}_{1}^{2} \xi^1 & ({\alpha}_{2}^{2}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{2} \xi^n \\
 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 
{\alpha}_{1}^{n} \xi^1 & {\alpha}_{2}^{n} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{n}^{n}- \lambda) \xi^n \\
 
\end{pmatrix}</math>
 
 
Если <tex>det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow \exists </tex> тривиальное решение  <tex>(0,0 ... ,0)^T</tex>
 
 
Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow \exists</tex> СВ <tex>x</tex>
 
 
<tex>\mathcal{X}_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
 
 
<tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а
 
<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ
 
 
Из уравнения на СЗ находим <tex>\{\lambda_i \}</tex> - корни характеристического полинома, они же - характеристические числа.
 
 
Затем подставляем каждую <tex>\lambda_i</tex> в уравнение на СВ по очереди на находим СВ <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i</tex>.
 
 
Так найдутся все СВ.
 
 
{{Теорема
 
|id=th2.
 
|author=
 
|about=
 
|statement=
 
Пусть <tex> \mathcal{A} : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>\mathcal{A}</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
 
|proof=
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B Основная теорема алгебры] гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.
 
}}
 
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)