Редактирование: Собственные векторы и собственные значения

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 6: Строка 6:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>  - линейный оператор (ЛО)<br>
+
Пусть <tex>A:X \to X</tex>  - линейный оператор (ЛО)<br>
  <tex>x\ne 0_x</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> {{---}} [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\dim L = 1</tex>  
+
  <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>A</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> - [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>A</tex> и <tex>\dim L = 1</tex>  
 
}}
 
}}
  
Строка 14: Строка 14:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F \colon \mathcal{A}x = \lambda x</tex>
+
Пусть <tex>A:X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>A</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : Ax = \lambda x</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 24: Строка 24:
 
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
 
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
 
|proof=
 
|proof=
<math> (1) \Rightarrow (2) \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow \mathcal{A}x=\lambda x</math> (единственным образом) <br>
+
<math> (1) \Rightarrow (2) : x \in L, \dim L=1 \Rightarrow Ax \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow Ax=\lambda x</math> (единственным образом) <br>
<tex> (1) \Leftarrow (2) \colon \exists \lambda: \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>
+
<tex> (1) \Leftarrow (2) : \exists \lambda: Ax = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, Ax = \lambda x \in L</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 32: Строка 32:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>\mathcal{A}x = \lambda x</tex> называется '''собственным числом (собственным значением)''' ЛО <tex>\mathcal{A}</tex>
+
<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>Ax = \lambda x</tex> называется '''собственным числом(собственным значением)''' ЛО <tex>A</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 40: Строка 40:
 
|definition=
 
|definition=
 
'''Спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br>
 
'''Спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br>
<tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>
+
<tex>\sigma (A) = \sigma _A = \{ \lambda _i \}</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 53: Строка 53:
 
'''Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
 
'''Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
 
|proof=
 
|proof=
1) База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x_1 \ne 0_x\ \{x_1\}</tex> - ЛНЗ набор.<br>
+
1) База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x1 \ne 0_x\ \{x1\}</tex> - ЛНЗ набор.<br>
2) <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1} \}</tex> - ЛНЗ.  
+
2) <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}</tex> - ЛНЗ.  
Рассмотрим <tex>\{x_1, ..., x_m \} </tex>- докажем, что тоже ЛНЗ.
+
Рассмотрим <tex>\{x1, ..., x_m \} </tex>- докажем, что тоже ЛНЗ.
  
 
<tex>\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>
 
<tex>\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>
  
<tex>\mathcal{A}( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex>  (1)
+
<tex>A( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex>  (1)
  
 
<tex>\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex>  (2)
 
<tex>\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex>  (2)
Строка 65: Строка 65:
 
(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x</tex>
 
(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x</tex>
  
По предположению индукции <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ  <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0  ...  \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>
+
По предположению индукции <tex>\{x1,x2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ  <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0  ...  \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>
  
 
<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>
 
<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>
  
<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex>, т.е. набор ЛНЗ.
+
<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex>, те набор ЛНЗ.
 
}}
 
}}
  
Строка 78: Строка 78:
 
|about=
 
|about=
 
|statement=
 
|statement=
Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.
+
Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>A</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
1) Если <tex>x</tex> {{---}} св, то и <tex> \alpha x</tex> {{---}} тоже св.
+
Как утверждается, несложное упражнение.
 
 
2) Если <tex>x,y</tex> {{---}} св, то и <tex>x+y</tex> {{---}} тоже св.
 
 
 
Из 1 и 2 <tex>\Rightarrow</tex> что лемма доказана (по определению подпространства)
 
 
 
 
}}
 
}}
  
Строка 93: Строка 88:
 
|neat =  
 
|neat =  
 
|definition=
 
|definition=
<tex>L = </tex> линейная оболочка <tex>\{</tex> все СВ <tex> x_i \leftrightarrow \lambda_i \}</tex> называют собственным подпространством <tex>X \leftrightarrow</tex> СЗ <tex>\lambda_i</tex>
+
Пусть <tex>L = </tex> линейная оболочка <tex>\{</tex> все СВ <tex> x_i \leftrightarrow \lambda_i \}</tex> называют собственным подпространством <tex>X \leftrightarrow</tex> СЗ <tex>\lambda_i</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 118: Строка 113:
 
У ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>
 
У ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>
 
|proof=  
 
|proof=  
(идет как упражнение)
+
Как утверждается, несложное упражнение.
По теореме выше, набор собственных векторов - ЛНЗ набор. <tex>\Rightarrow</tex> их не больше чем размерность пространства, а <tex>dim X = n </tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 125: Строка 119:
  
 
<tex>x \ne 0_x</tex> и
 
<tex>x \ne 0_x</tex> и
<tex>\mathcal{A}x = \lambda  x \Leftrightarrow \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I} x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})X = 0 </tex>
+
<tex>Ax = \lambda  x \Leftrightarrow Ax - \lambda I x = 0 \Leftrightarrow (A - \lambda I)X = 0 </tex>
  
 
<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix}  
 
<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix}  
Строка 138: Строка 132:
 
Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow \exists</tex> СВ <tex>x</tex>
 
Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow \exists</tex> СВ <tex>x</tex>
  
<tex>\mathcal{X}_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
+
<tex>\chi_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
  
 
<tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а
 
<tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а
Строка 154: Строка 148:
 
|about=
 
|about=
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> \mathcal{A} : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>\mathcal{A}</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
+
Пусть <tex> A : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>A</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
 
|proof=
 
|proof=
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B Основная теорема алгебры] гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B Основная теорема алгебры] гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)