Редактирование: Собственные векторы и собственные значения

== Основные теоремы и определения ==

===Определения===
{{Определение
|id=def1. 
|neat = 
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>  - линейный оператор (ЛО)<br>
 <tex>x\ne 0_x</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> {{---}} [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\dim L = 1</tex> 
}}

{{Определение
|id=def2. 
|neat = 
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F \colon \mathcal{A}x = \lambda x</tex>
}}

{{Лемма
|id=lemma1 
|author=
|about=
|statement=
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
|proof=
<math> (1) \Rightarrow (2) \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow \mathcal{A}x=\lambda x</math> (единственным образом) <br>
<tex> (1) \Leftarrow (2) \colon \exists \lambda: \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>
}}

{{Определение
|id=def3. 
|neat = 
|definition=
<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>\mathcal{A}x = \lambda x</tex> называется '''собственным числом (собственным значением)''' ЛО <tex>\mathcal{A}</tex>
}}

{{Определение
|id=def4. 
|neat = 
|definition=
'''Спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br>
<tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>
}}

 // здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно

===Свойства===
{{Теорема
|id=th1. 
|author=
|about=
|statement=
'''Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
|proof=
1) База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x_1 \ne 0_x\ \{x_1\}</tex> - ЛНЗ набор.<br>
2) <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}</tex> - ЛНЗ. 
Рассмотрим <tex>\{x_1, ..., x_m \} </tex>- докажем, что тоже ЛНЗ.

<tex>\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>

<tex>\mathcal{A}( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex>  (1)

<tex>\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex>   (2)

(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x</tex>

По предположению индукции <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ  <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0  ...  \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>

<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>

<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex>, т.е. набор ЛНЗ.
}}


{{Лемма
|id=lemma2. 
|author=
|about=
|statement=
Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.
|proof=
1) Если <tex>x</tex> {{---}} св, то и <tex> \alpha x</tex> {{---}} тоже св.

2) Если <tex>x,y</tex> {{---}} св, то и <tex>x+y</tex> {{---}} тоже св.

Из 1 и 2 <tex>\Rightarrow</tex> что лемма доказана (по определению подпространства)

}}


{{Определение
|id=def45 
|neat = 
|definition=
<tex>L = </tex> линейная оболочка <tex>\{</tex> все СВ <tex> x_i \leftrightarrow \lambda_i \}</tex> называют собственным подпространством <tex>X \leftrightarrow</tex> СЗ <tex>\lambda_i</tex>
}}


{{Лемма
|id=lemma3. 
|author=
|about=
|statement=
Пусть L - линейная оболочка<tex>\{ </tex> всех <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i\}</tex>
Пусть <tex>X_{\lambda i}</tex> - собственное подпространство X <tex>\leftrightarrow \lambda_i</tex>
Тогда <tex>L = X_{\lambda i}</tex>
|proof=
Сначала <tex>\subseteq</tex>  потом <tex>\supseteq</tex>  <tex>\Rightarrow</tex> доказательство (так в конспекте);
Вообще не понятно, зачем эта лемма, ибо она по определению.
}}


{{Лемма
|id=lemma4. 
|author=
|about= (следствие из теоремы)
|statement=
У ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>
|proof= 
(идет как упражнение)
По теореме выше, набор собственных векторов - ЛНЗ набор. <tex>\Rightarrow</tex> их не больше чем размерность пространства, а <tex>dim X = n </tex>.
}}

== Поиск СЗ и СВ ==

<tex>x \ne 0_x</tex> и
<tex>\mathcal{A}x = \lambda  x \Leftrightarrow \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I} x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})X = 0 </tex>

<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix} 
({\alpha}_{1}^{1}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{2}^{1} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{1} \xi^n \\
{\alpha}_{1}^{2} \xi^1 & ({\alpha}_{2}^{2}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{2} \xi^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\alpha}_{1}^{n} \xi^1 & {\alpha}_{2}^{n} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{n}^{n}- \lambda) \xi^n \\
\end{pmatrix}</math>

Если <tex>det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow \exists </tex> тривиальное решение  <tex>(0,0 ... ,0)^T</tex>

Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow \exists</tex> СВ <tex>x</tex>

<tex>\mathcal{X}_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином

<tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а
<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ

Из уравнения на СЗ находим <tex>\{\lambda_i \}</tex> - корни характеристического полинома, они же - характеристические числа.

Затем подставляем каждую <tex>\lambda_i</tex> в уравнение на СВ по очереди на находим СВ <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i</tex>.

Так найдутся все СВ.

{{Теорема
|id=th2. 
|author=
|about=
|statement=
Пусть <tex> \mathcal{A} : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>\mathcal{A}</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
|proof=
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B Основная теорема алгебры] гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.
}}

[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]