Собственные векторы и собственные значения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(свойства)
(поиск СЗ и СВ)
Строка 127: Строка 127:
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
  
если <tex>det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow exists! </tex> тривиальное решение  <tex>(0,0 ... ,0)^T</tex>
+
Если <tex>det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow exists! </tex> тривиальное решение  <tex>(0,0 ... ,0)^T</tex>
  
если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow exists</tex> СВ <tex>x</tex>
+
Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow exists</tex> СВ <tex>x</tex>
  
 
<tex>\chi_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
 
<tex>\chi_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
Строка 136: Строка 136:
 
<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ
 
<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ
  
из уравнения на СЗ находим <tex>\{\lambda_i \}</tex> - корпни характеристического полинома, они же - характеристические числа
+
Из уравнения на СЗ находим <tex>\{\lambda_i \}</tex> - корпни характеристического полинома, они же - характеристические числа.
  
затем подставляем каждую <tex>\lambda_i</tex> в уравнение на СВ по очереди на находим СВ <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i</tex>
+
Затем подставляем каждую <tex>\lambda_i</tex> в уравнение на СВ по очереди на находим СВ <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i</tex>.
  
так найдутся все СВ.
+
Так найдутся все СВ.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 147: Строка 147:
 
|about=
 
|about=
 
|statement=
 
|statement=
пусть <tex> A : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>A</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
+
Пусть <tex> A : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>A</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
 
|proof=
 
|proof=
одна из теорем высшей алгебры гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.
+
Одна из теорем высшей алгебры гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.
 
пример:
 
пример:
 
[[Файл:File20130611.jpg |400px|thumb|left|пример к теореме]]  
 
[[Файл:File20130611.jpg |400px|thumb|left|пример к теореме]]  
 
}}
 
}}

Версия 02:15, 12 июня 2013

основные теоремы и определения

определения

Определение:
Пусть [math]A:X \to X[/math] - линейный оператор (ЛО)
[math]x\ne 0_X[/math] называется собственным вектором[math]A[/math], если [math]x \in L[/math], где [math]L[/math] - инвариантное подпространство [math]A[/math], b [math]dimL = 1[/math]


Определение:
Пусть [math]A:X \to X[/math]
[math]x\ne 0_X[/math] называется собственным вектором[math]A[/math], если существует [math]\lambda \in F : Ax = \lambda x[/math]


Лемма:
Предыдущие 2 определения эквивалентны
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] (1) \Rightarrow (2) : x \in L, dim(L)=1 \Rightarrow Ax \in L (x \ne 0_x \Rightarrow basis L = \{x\}), then Ax =! \lambda x[/math]
[math] (1) \Leftarrow (2) : \exists \lambda: Ax=\lambda x \Rightarrow x \in[/math] одном.(одномерному) п.п.

[math]L =\{x\}, Ax = \lambda x \in L[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]\lambda[/math] в равенстве [math]Ax = \lambda x[/math] называется собственным числом(собственным значением) ЛО [math]A[/math]


Определение:
Спектром [math]\sigma[/math] ЛО называется множество всех его собственных значений
[math]\sigma (A) = \sigma _A = \{ \lambda _i \}[/math]


// здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно

свойства

Теорема:
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям образуют ЛНЗ набор
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1)База: рассмотрим [math]\lambda \leftrightarrow x1 \ne 0_x \{x1\} - ЛНЗ[/math] 2) [math]\{x1,x2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}[/math] - ЛНЗ. Рассмотрим [math]\{x1, ..., x_m \} [/math]- доказать что ЛНЗ.

[math]\sum\limits_{k=1}^m \alpha^i x_i = 0 [/math]

[math]A( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x[/math] (1)

[math]\lambda_m( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x[/math] (2)

(1) - (2) : [math]\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_m-1(\lambda_m-1 - \lambda_m)x_m-1 + 0_x = 0_x[/math]

По предположению индукции [math]\{x1,x2, ... , x_{m-1}\}[/math] - ЛНЗ [math]\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 [/math], при этом все [math](\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0[/math]

[math]\Rightarrow [/math] все [math]\alpha_i = 0[/math]

[math]\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x [/math], где [math]x_m \ne 0[/math] те набор ЛНЗ
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора [math]A[/math], образует подпространство пространства [math]X[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Как утверждается, несложное упражнение.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]L = \{[/math] все СВ [math] x_i \leftrightarrow \lambda_i \}[/math] называют собственным подпространством [math]\leftrightarrow[/math] СЗ [math]\lambda_i[/math]


Лемма:
Пусть L - лин оболочка[math]\{ [/math] всех [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i\}[/math]

Пусть [math]X_{\lambda i}[/math] - собственное подпространство X [math]\leftrightarrow \lambda_i[/math]

Тогда [math]L = X_{\lambda i}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Сначала [math]\subseteq[/math] потом [math]\supseteq[/math] [math]\Rightarrow[/math] доказательство
[math]\triangleleft[/math]


Лемма ((следствие из теоремы)):
У ЛО не может быть больше [math]n[/math] СЗ, где [math]n = dimX[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Как утверждается, несложное упражнение.
[math]\triangleleft[/math]

поиск СЗ и СВ

[math]x \ne 0_x[/math] и [math]Ax = \lambda x \Leftrightarrow Ax - \lambda I x = 0 \Leftrightarrow (A - \lambda I)X = 0 [/math]

[math]{C}= \begin{pmatrix} ({\alpha}_{11}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{11} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{1n} \xi^n \\ {\alpha}_{21} \xi^1 & ({\alpha}_{22}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{2n} \xi^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\alpha}_{n1} \xi^1 & {\alpha}_{n2} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{nn}- \lambda) \xi^n \\ \end{pmatrix}[/math]

Если [math]det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow exists! [/math] тривиальное решение [math](0,0 ... ,0)^T[/math]

Если [math]det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow exists [/math] нетривиальное решение [math]\Rightarrow exists[/math] СВ [math]x[/math]

[math]\chi_A (\lambda) = 0 [/math] - характеристический полином

[math]det(A- \lambda E) = 0[/math] - уравнение на СЗ, а [math]det(A- \lambda E)X = 0[/math] - уравнение на СВ

Из уравнения на СЗ находим [math]\{\lambda_i \}[/math] - корпни характеристического полинома, они же - характеристические числа.

Затем подставляем каждую [math]\lambda_i[/math] в уравнение на СВ по очереди на находим СВ [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i[/math].

Так найдутся все СВ.

Теорема:
Пусть [math] A : X \to X, X[/math] над С, тогда у [math]A[/math] есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Одна из теорем высшей алгебры гласит, что у [math]\forall[/math] полинома комплексной переменной всегда есть корень. пример:

пример к теореме
[math]\triangleleft[/math]