Редактирование: Совпадение множества языков МП-автоматов и контекстно-свободных языков

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
== Построение МП-автомата по заданной КС-грамматике ==
+
=== Построение МП-автомата по заданной КС-грамматике ===
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id = th1
 
|id = th1
|statement = Класс [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | контекстно-свободных языков]] <tex>(\mathrm{CFG})</tex> является подмножеством класса языков, задаваемых [[Автоматы с магазинной памятью | автоматами с магазинной памятью]] <tex>(\mathrm{PDA})</tex>, то есть по любой КС-грамматике можно построить МП-автомат, задающий тот же язык, что и исходная грамматика.
+
|statement = Класс контекстно-свободных языков (<tex>\mathrm{CFG}</tex>) является подмножеством класса языков, задаваемых автоматами с магазинной памятью (<tex>\mathrm{PDA}</tex>), то есть по любой КС-грамматике можно построить МП-автомат, задающий тот же язык, что и исходная грамматика.
 
|proof =  
 
|proof =  
 
Пусть дана КС-грамматика <tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S, P\rangle</tex>. Поскольку классы языков, допускаемых МП-автоматами по допускающему состоянию и по пустому стеку, [[МП-автоматы, допуск по пустому стеку и по допускающему состоянию, эквивалентность | совпадают]], достаточно построить автомат с допуском по пустому стеку.
 
Пусть дана КС-грамматика <tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S, P\rangle</tex>. Поскольку классы языков, допускаемых МП-автоматами по допускающему состоянию и по пустому стеку, [[МП-автоматы, допуск по пустому стеку и по допускающему состоянию, эквивалентность | совпадают]], достаточно построить автомат с допуском по пустому стеку.
Строка 11: Строка 11:
 
[[Файл:Delta.png | thumb | right | Добавим такие переходы для каждого терминала <tex>a</tex> и правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma</tex>]]
 
[[Файл:Delta.png | thumb | right | Добавим такие переходы для каждого терминала <tex>a</tex> и правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma</tex>]]
  
* для каждого правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma \in P</tex> определим <tex>\delta(q, \varepsilon, V) = \{(q, \gamma)\}</tex>;
+
# для каждого правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma \in P</tex> определим <tex>\delta(q, \varepsilon, V) = \{(q, \gamma)\}</tex>;
* для каждого терминала <tex>a</tex> определим <tex> \delta(q, a, a) = \{(q, \varepsilon)\} </tex>.
+
# для каждого терминала <tex>a</tex> определим <tex> \delta(q, a, a) = \{(q, \varepsilon)\} </tex>.
  
 
Покажем, что язык, допускаемый автоматом <tex>A</tex>, совпадает с языком грамматики <tex>\Gamma</tex>, то есть что <tex>S \Rightarrow^* w \iff (q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>:
 
Покажем, что язык, допускаемый автоматом <tex>A</tex>, совпадает с языком грамматики <tex>\Gamma</tex>, то есть что <tex>S \Rightarrow^* w \iff (q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>:
  
;Пусть <tex>S \Rightarrow^* w</tex>.: Рассмотрим [[ Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | левосторонний вывод ]] <tex>S = \gamma_0 \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow ... \Rightarrow \gamma_n=w</tex>. Обозначим как <tex>v_i</tex> наибольший префикс <tex>\gamma_i</tex>, состоящий только из терминалов, а <tex>\alpha_i</tex> {{---}} остаток <tex>\gamma_i</tex>, то есть <tex>\gamma_i = v_i\alpha_i</tex>, причём <tex>v_i \in \Sigma^*</tex>, а <tex>\alpha_i</tex> начинается с нетерминала (либо пустая). С помощью индукции по <tex>i</tex> докажем, что <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i \leq n</tex>, где <tex>x_i</tex> {{---}} то, что остаётся после чтения <tex>v_i</tex>, то есть <tex>v_ix_i = w</tex>. Иными словами, переходя по автомату по символам <tex>v_i</tex>, можно оставить на стеке <tex>\alpha_i</tex>.
+
* Пусть <tex>S \Rightarrow^* w</tex>. Рассмотрим [[ Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | левосторонний вывод ]] <tex>S = \gamma_0 \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow ... \Rightarrow \gamma_n=w</tex>. Обозначим как <tex>v_i</tex> наибольший префикс <tex>\gamma_i</tex>, состоящий только из терминалов, а <tex>\alpha_i</tex> {{---}} остаток <tex>\gamma_i</tex>, то есть <tex>\gamma_i = v_i\alpha_i</tex>, причём <tex>v_i \in \Sigma^*</tex>, а <tex>\alpha_i</tex> начинается с нетерминала (либо пустая). С помощью индукции по <tex>i</tex> докажем, что <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i \leq n</tex>, где <tex>x_i</tex> {{---}} то, что остаётся после чтения <tex>v_i</tex>, то есть <tex>v_ix_i = w</tex>. Иными словами, переходя по автомату по символам <tex>v_i</tex>, можно оставить на стеке <tex>\alpha_i</tex>.
:* '''База:''' <br> Пусть  <tex>i = 0</tex>. <br> В этом случае <tex>\gamma_0 = S</tex>, поэтому <tex>v_0 = \varepsilon, \alpha_0 = S, x_i = w</tex>. Очевидно, <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, w, S)</tex>.
+
** База (<tex>i = 0</tex>): <br> В этом случае <tex>\gamma_0 = S</tex>, поэтому <tex>v_0 = \varepsilon, \alpha_0 = S, x_i = w</tex>. Очевидно, <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, w, S)</tex>.
:* '''Индукционный переход:''' <br> Пусть <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i < n</tex>. <tex>\alpha_i</tex> по определению начинается с какого-то нетерминала <tex>V</tex> (если <tex>\alpha_i = \varepsilon</tex>, то получена <tex>\gamma_n</tex>, а мы предположили, что <tex>i < n</tex>), то есть <tex>\alpha_i = Vq_i</tex> Поскольку мы рассматриваем левосторонний вывод, то переход <tex>\gamma_i \Rightarrow \gamma_{i + 1}</tex> включает замену нетерминала <tex>V</tex> на какую-то цепочку <tex>\beta</tex> по правилу <tex>V \rightarrow \beta</tex>. Так как <tex>\gamma_i = v_i \alpha_i = v_i V q_i</tex>, то <tex>\gamma_{i + 1} = v_i \beta q_i = v_{i + 1} \alpha_{i + 1}</tex>. В автомате <tex>A</tex> по построению присутствует правило перехода <tex>\delta(q, \varepsilon, V) = \{(q, \beta)\}</tex>, поэтому <tex>\alpha_i</tex> на стеке можно заменить на <tex>\beta q_i</tex>. Заметим, что <tex>\beta q_i</tex> представляет собой конкатенацию нескольких терминалов из <tex>w</tex> и <tex>\alpha_{i + 1}</tex>. Считывая очередные символы строки <tex>w</tex>, будем переходить по автомату, убирая терминалы со стека, пока не встретим нетерминал. Таким образом, на стеке окажется <tex>\alpha_{i+1}</tex>. Получили, что <tex>(q, x_i, \alpha_i) \vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{i + 1})</tex>, а значит, <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{i + 1})</tex>. Индукционный переход доказан.
+
** Индукционный переход: <br> Пусть <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i < n</tex>. <tex>\alpha_i</tex> по определению начинается с какого-то нетерминала <tex>V</tex> (если <tex>\alpha_i = \varepsilon</tex>, то получена <tex>\gamma_n</tex>, а мы предположили, что <tex>i < n</tex>), то есть <tex>\alpha_i = Vq_i</tex> Поскольку мы рассматриваем левосторонний вывод, то переход <tex>\gamma_i \Rightarrow \gamma_{i + 1}</tex> включает замену нетерминала <tex>V</tex> на какую-то цепочку <tex>\beta</tex> по правилу <tex>V \rightarrow \beta</tex>. Так как <tex>\gamma_i = v_i \alpha_i = v_i V q_i</tex>, то <tex>\gamma_{i + 1} = v_i \beta q_i = v_{i + 1} \alpha_{i + 1}</tex>. В автомате <tex>A</tex> по построению присутствует правило перехода <tex>\delta(q, \varepsilon, V) = \{(q, \beta)\}</tex>, поэтому <tex>\alpha_i</tex> на стеке можно заменить на <tex>\beta q_i</tex>. Заметим, что <tex>\beta q_i</tex> представляет собой конкатенацию нескольких терминалов из <tex>w</tex> и <tex>\alpha_{i + 1}</tex>. Считывая очередные символы строки <tex>w</tex>, будем переходить по автомату, убирая терминалы со стека, пока не встретим нетерминал. Таким образом, на стеке окажется <tex>\alpha_{i+1}</tex>. Получили, что <tex>(q, x_i, \alpha_i) \vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{i + 1})</tex>, а значит, <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{i + 1})</tex>. Индукционный переход доказан.
 
: Заметим, что <tex>\alpha_n = \varepsilon, v_n = w, x_n = \varepsilon</tex>, поэтому <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.
 
: Заметим, что <tex>\alpha_n = \varepsilon, v_n = w, x_n = \varepsilon</tex>, поэтому <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.
  
;Пусть <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.: Воспользуемся индукцией по числу переходов в автомате и докажем для любой строки <tex>x</tex> и нетерминала <tex>M \in N</tex>, что если <tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>M \Rightarrow^* x</tex>.
+
* Пусть <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Воспользуемся индукцией по числу переходов в автомате и докажем для любой строки <tex>x</tex> и маркера дна <tex>M \in N</tex>, что если <tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>M \Rightarrow^* x</tex>.
:* '''База:''' <br> Пусть в автомате один переход. <br> Если <tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>x = \varepsilon</tex> и в грамматике присутствует правило <tex>M \rightarrow \varepsilon</tex>, по которому выводится <tex>\varepsilon = x</tex>.
+
** База (1 переход): <br> Если <tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>x = \varepsilon</tex> и в грамматике присутствует правило <tex>M \rightarrow \varepsilon</tex>, по которому выводится <tex>\varepsilon = x</tex>.
:* '''Индукционный переход:''' <br> Предположим, что автомат <tex>A</tex> совершает <tex>n</tex> шагов (<tex>n > 1</tex>). Изначально на вершине стеке находится <tex>M</tex>, поэтому первый переход совершается по какому-то правилу из первого пункта построения <tex>\delta</tex>, и на стеке оказывается последовательность из терминалов и нетерминалов <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. В процессе следующих <tex>n - 1</tex> переходов автомат прочитает строку <tex>x</tex> и поочерёдно вытолкнет со стека <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. Разобьём <tex>w</tex> на подстроки <tex>x_1 x_2 \ldots x_k</tex>, где <tex>x_1</tex> {{---}} порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_1</tex> со стека, <tex>x_2</tex> {{---}} следующая порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_2</tex> со стека и так далее. Формально можно заключить, что <tex>(q, x_i x_{i + 1} \ldots x_k, Y_i) \vdash^* (q, x_{i + 1} \ldots x_k, \varepsilon)</tex>, причём менее чем за <tex>n</tex> шагов. Если <tex>Y_i</tex> {{---}} нетерминал, то по индукционному предположению имеем, что <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex>. Если же <tex>Y_i</tex> {{---}} терминал, то должен совершаться только один переход, в котором проверяется совпадение <tex>x_i</tex> и <tex>Y_i</tex>. Значит, <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex> за 0 шагов. <br> Таким образом, получаем, что <tex>M \Rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_k \Rightarrow^* x_1 x_2 \ldots x_k = x</tex>.
+
** Индукционный переход: <br> Предположим, что автомат <tex>A</tex> совершает <tex>n</tex> шагов (<tex>n > 1</tex>). Изначально на вершине стеке находится <tex>M</tex>, поэтому первый переход совершается по одному из правил первого типа, и на стеке оказывается последовательность из терминалов и нетерминалов <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. В процессе следующих <tex>n - 1</tex> переходов автомат прочитает строку <tex>x</tex> и поочерёдно вытолкнет со стека <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. Разобьём <tex>w</tex> на подстроки <tex>x_1 x_2 \ldots x_k</tex>, где <tex>x_1</tex> {{---}} порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_1</tex> со стека, <tex>x_2</tex> {{---}} следующая порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_2</tex> со стека и так далее. Формально можно заключить, что <tex>(q, x_i x_{i + 1} \ldots x_k, Y_i) \vdash^* (q, x_{i + 1} \ldots x_k, \varepsilon)</tex>, причём менее чем за <tex>n</tex> шагов. Если <tex>Y_i</tex> {{---}} нетерминал, то по индукционному предположению имеем, что <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex>. Если же <tex>Y_i</tex> {{---}} терминал, то должен совершаться только один переход, в котором проверяется совпадение <tex>x_i</tex> и <tex>Y_i</tex>. Значит, <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex> за 0 шагов. <br> Таким образом, получаем, что <tex>N \Rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_k \Rightarrow^* x_1 x_2 \ldots x_k = x</tex>.
: Подставляя <tex>w</tex> вместо <tex>x</tex> и <tex>S</tex> вместо <tex>M</tex>, получаем, что <tex>S \Rightarrow^* w.
+
: Подставляя <tex>w</tex> вместо <tex>x</tex> и <tex>S</tex> вместо <tex>M</tex>, получаем, что <tex>S \Rightarrow^* w</tex>
</tex>
 
 
}}
 
}}
  
=== Пример ===
+
==== Пример ====
Поскольку доказательство теоремы конструктивно, то используя правила перехода, описанные в ней, можно преобразовать любую КС-грамматику в МП-автомат. Рассмотрим грамматику слов над алфавитом <tex>\{0, 1\}</tex>, в которых одинаковое количество нулей и единиц:
+
Преобразуем КС-грамматику слов над алфавитом <tex>\{0, 1\}</tex>, в которых поровну нулей и единиц, в МП-автомат. Пусть дана грамматика:
: <tex> S \rightarrow 0S1 </tex>
+
* <tex> S \rightarrow 0S1 </tex>;
: <tex> S \rightarrow 1S0 </tex>
+
* <tex> S \rightarrow 1S0 </tex>;
: <tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>
+
* <tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>.
 
Множеством терминалов является <tex>\Sigma = \{0, 1\}</tex>, а нетерминалов {{---}} <tex>N = \{S\}</tex>. Таким образом, стековый алфавит состоит из <tex>0, 1, S</tex>. Функция переходов <tex>\delta</tex> определена следующим образом:
 
Множеством терминалов является <tex>\Sigma = \{0, 1\}</tex>, а нетерминалов {{---}} <tex>N = \{S\}</tex>. Таким образом, стековый алфавит состоит из <tex>0, 1, S</tex>. Функция переходов <tex>\delta</tex> определена следующим образом:
  
: <tex>\delta(q, \varepsilon, S) = \{(q, 0S1), (q, 1S0), (q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии с первым пунктом построения <tex>\delta</tex>)
+
* <tex>\delta(q, \varepsilon, S) = \{(q, 0S1), (q, 1S0), (q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии с первым пунктом построения <tex>\delta</tex>);
  
: <tex> \delta(q, 0, 0)= \{(q, \varepsilon)\}</tex>; <tex> \delta(q, 1, 1)= \{(q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии со вторым пунктом построения <tex>\delta</tex>)
+
* <tex> \delta(q, 0, 0)= \{(q, \varepsilon)\}</tex>; <tex> \delta(q, 1, 1)= \{(q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии со вторым пунктом построения <tex>\delta</tex>).
  
 
Получившийся автомат:
 
Получившийся автомат:
 
 
[[Файл:Example1.png]]
 
[[Файл:Example1.png]]
  
== Построение КС-грамматики по МП-автомату ==
+
=== Построение КС-грамматики по МП-автомату ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id = th2
 
|id = th2
|statement = Класс языков, задаваемых автоматами с магазинной памятью <tex>(\mathrm{PDA})</tex>, является подмножеством класса контекстно-свободных языков <tex>(\mathrm{CFG})</tex>, то есть по любому МП-автомату можно построить КС-грамматику, задающую тот же язык, что и допускаемый автоматом.
+
|statement = Класс языков, задаваемых автоматами с магазинной памятью (<tex>\mathrm{PDA}</tex>), является подмножеством класса контекстно-свободных языков (<tex>\mathrm{CFG}</tex>), то есть по любому МП-автомату можно построить КС-грамматику, задающую тот же язык, что и допускаемый автоматом.
 
|proof =  
 
|proof =  
Пусть дан МП-автомат с допуском по пустому стеку <tex>A = \langle \Sigma, \Pi, Q, q_0 \in Q, z_0, \delta \rangle</tex>. Как отмечалось ранее, предположение о допуске по пустому стеку не умаляет общности.  
+
Пусть дан МП-автомат с допуском по пустому стеку <tex>A = \langle \Sigma, \Pi, Q, q_0 \in Q, z_0, \delta \rangle</tex>. Как отмечалось ранее, предположение о допуске по пустому стеку не умаляет общности. Построим эквивалентную ему КС-грамматику <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex>. В качестве нетерминалов будем использовать конструкции вида <tex>[pXq]</tex> (где <tex> p, q \in Q</tex>, <tex>X \in \Pi</tex>), которая неформально означает, что в процессе изменения состояния автомата от <tex>p</tex> до <tex>q</tex> символ <tex>X</tex> окончательно удаляется из стека. Также введём стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Таким образом, <tex>N = Q \times \Pi \times Q \cup S</tex>.
Построим эквивалентную ему КС-грамматику <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex>. В качестве нетерминалов будем использовать конструкции вида <tex>[pXq]</tex> (где <tex> p, q \in Q</tex>, <tex>X \in \Pi</tex>), которая неформально означает, что в процессе изменения состояния автомата от <tex>p</tex> до <tex>q</tex> символ <tex>X</tex> удаляется с вершины стека, не затрагивая то, что находится ниже. Также введём стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Таким образом, <tex>N = Q \times \Pi \times Q \cup S</tex>.
 
  
 
Правила вывода <tex>P</tex> построим следующим образом:
 
Правила вывода <tex>P</tex> построим следующим образом:
  
* для каждого состояния <tex>p \in Q</tex> добавим правило <tex>S \rightarrow [q_0 z_0 p]</tex>;
+
1) для каждого состояния <tex>p \in Q</tex> добавим правило <tex>S \rightarrow [q_0 z_0 p]</tex>;
* для каждого перехода <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> сделаем следующее: для всех упорядоченных списков состояний <tex>[r_1, r_2 \ldots r_k] \in Q^k</tex> добавим правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k]</tex>, если <tex>k > 0</tex>, и <tex>[p X r_0] \rightarrow a</tex>, если <tex>k = 0</tex>.
 
  
Нетерминал <tex>[pXq]</tex> должен выводить только те строки <tex>w</tex>, которые переводят автомат из состояния <tex>(p, X)</tex> в <tex>(q, \varepsilon)</tex>. Формально это можно записать следующим образом: <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Докажем это утверждение:
+
2) для каждого перехода <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> сделаем следующее: для всех упорядоченных списков состояний <tex>\{r_1, r_2 \ldots r_k\} \in Q^k</tex> добавим правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k]</tex>, если <tex>k > 0</tex>, и <tex>[p X r_0] \rightarrow a</tex>, если <tex>k = 0</tex>.
  
;Пусть <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.: Докажем, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, используя индукцию по числу переходов в автомате.
+
Нетерминал <tex>[pXq]</tex>, должен выводить только те строки <tex>w</tex>, которые переводят автомат из состояния <tex>(p, X)</tex> в <tex>(q, \varepsilon)</tex>. Формально это можно записать следующим образом: <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Докажем это утверждение:
:*'''База:'''<br> Пусть выполняется только один переход.<br> Тогда длина <tex>w</tex> не больше единицы и <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex>, поэтому правило <tex>[pXq] \rightarrow w</tex> по построению должно присутствовать в <tex>P</tex>.
 
:*'''Индукционный переход:'''<br> Предположим, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. Первый переход имеет вид <tex>(p, w, X) \vdash (r_0, x, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, где <tex>w = ax</tex> (<tex>a</tex> {{---}} символ из <tex>\Sigma</tex> или <tex>\varepsilon</tex>). Значит, <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex>. По построению в грамматике должно присутствовать правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k]</tex> для любой последовательности состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex>. Пусть <tex>x = w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>w_i</tex> {{---}} входная цепочка, которая прочитывается до удаления <tex>\gamma_i</tex> со стека, то есть найдётся такая последовательность состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex>, что <tex>(r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, причём заканчивается всё в <tex>q = r_k</tex>. Заметим, что все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> переходов, а значит, по индукционному предположению <tex>[r_{i  - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex> для всех <tex>i</tex>. <br> Собирая вышесказанное, получаем <tex>[p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* a w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>. Так как <tex>r_k = q</tex>, то <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, тем самым индукционный переход доказан.
 
  
;Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>.: Докажем, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, используя индукцию по числу шагов в порождении.
+
* Пусть <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Докажем, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, используя индукцию по числу переходов в автомате.
:*'''База:''' <br> Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex> за один шаг.<br> Тогда в <tex>\Gamma</tex> должно быть правило вывода <tex>[pXq] \rightarrow w</tex>, а значит, в автомате должен быть переход <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex> и <tex>w</tex> не может иметь длину больше единицы. Таким образом, <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.
+
** База (1 переход): <br> Раз выполняется только один переход, то длина <tex>w</tex> не больше единицы и <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex>, поэтому правило <tex>[pXq] \rightarrow w</tex> по построению должно присутствовать в <tex>P</tex>.
:*'''Индукционный переход:''' <br> Предположим, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w </tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. По построению вывод должен иметь вид <tex>[p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* w</tex>, где <tex>r_k = q</tex> и <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex>. Вновь представим <tex>w</tex> в виде <tex>w = a w_1 w_2 \ldots w_k</tex> так, что <tex>[r_{i - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex>. Так как все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> шагов, то по индукционному предположению для всех <tex>i</tex> выполнено <tex>(r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Собирая всё вместе, получаем <tex>(r_0, w_1 w_2 \ldots w_k, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (r_1, w_2 w_3 \ldots w_k, \gamma_2 \gamma_3 \ldots \gamma_k) \vdash^* \ldots \vdash^* (r_k, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Так как <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> и <tex>r_k = q</tex>, то в итоге <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.
+
** Индукционный переход: <br> Предположим, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. Первый переход имеет вид <tex>(p, w, X) \vdash (r_0, x, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, где <tex>w = ax</tex> (<tex>a</tex> {{---}} символ из <tex>\Sigma</tex> или <tex>\varepsilon</tex>). Значит, <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex>. По построению в грамматике должно присутствовать правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k]</tex> для любой последовательности состояний <tex>\{r_i\}</tex>. Пусть <tex>x = w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>w_i</tex> {{---}} входная цепочка, которая прочитывается до удаления <tex>\gamma_i</tex> со стека, то есть найдётся такая последовательность состояний <tex>\{r_i\}</tex>, что <tex>(r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, причём заканчивается всё в <tex>q = r_k</tex>. Заметим, что все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> переходов, а значит, по индукционному предположению <tex>[r_{i  - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex> для всех <tex>i</tex>. <br> Собирая вышесказанное, получаем <tex>[p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* a w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>. Так как <tex>r_k = q</tex>, то <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, тем самым индукционный переход доказан.
 +
* Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>. Докажем, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, используя индукцию по числу шагов в порождении.
 +
** База (1 шаг): <br> Если <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex> за один шаг, то в <tex>\Gamma</tex> должно быть правило вывода <tex>[pXq] \rightarrow w</tex>, а значит, в автомате должен быть переход <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex> и <tex>w</tex> не может иметь длину больше единицы. Таким образом, <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.
 +
** Индукционный переход: <br> Предположим, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w </tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. По построению вывод должен иметь вид <tex>[p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* w</tex>, где <tex>r_k = q</tex> и <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex>. Вновь представим <tex>w</tex> в виде <tex>w = a w_1 w_2 \ldots w_k</tex> так, что <tex>[r_{i - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex>. Так как все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> шагов, то по индукционному предположению для всех <tex>i</tex> выполнено <tex>(r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Собирая всё вместе, получаем <tex>(r_0, w_1 w_2 \ldots w_k, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (r_1, w_2 w_3 \ldots w_k, \gamma_2 \gamma_3 \ldots \gamma_k) \vdash^* \ldots \vdash^* (r_k, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Так как <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> и <tex>r_k = q</tex>, то в итоге <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.
  
Таким образом, мы доказали, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Заметим, что <tex>S \Rightarrow^* w</tex> тогда и только тогда, когда найдётся <tex>p</tex>, что <tex>[q_0 z_0 p] \Rightarrow^* w</tex>. По доказанному выше это равносильно тому, что <tex>(q_0, w, z_0) \vdash^* (p, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то есть что <tex>A</tex> допускает <tex>w</tex> по пустому стеку. Суммируя всё вышесказанное, получаем, что построенная грамматика <tex>\Gamma</tex> порождает слово <tex>w</tex> тогда и только тогда, когда оно допускается автоматом <tex>A</tex>.
+
Таким образом, мы доказали, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Заметим, что <tex>S \Rightarrow^* w</tex> тогда и только тогда, когда найдётся <tex>p</tex>, что <tex>[q_0 z_0 p] \Rightarrow^* w</tex>. По доказаному выше это равносильно тому, что <tex>(q0, w, z0) \vdash^* (p, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то есть что <tex>A</tex> допускает <tex>w</tex> по пустому стеку. Суммируя всё вышесказанное, получаем, что построенная грамматика <tex>\Gamma</tex> порождает слово <tex>w</tex> тогда и только тогда, когда оно допускается автоматом <tex>A</tex>.
 +
 
 +
<!--
 +
Наша конструкция эквивалентной грамматики использует переменные вида: <tex> [pXq]</tex> — которая означает, что в процессе изменения состояния автомата от <tex> p </tex> до <tex> q </tex>, <tex> X </tex> удалилось из стека.<br>
 +
[[Файл:-pXq-.jpg]]
 +
 
 +
Следует отметить, что удаление <tex> X </tex> может являться результатом множества переходов.<br>
 +
Пусть <tex> P=(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,Z_0)</tex> — МП-автомат. Построим <tex> G=(V,\Sigma,R,S)</tex>, где <tex> V </tex> состоит из:
 +
*1 Специальный стартовый символ <tex> S </tex>,
 +
*2 Все символы вида <tex> [pXq]</tex>, где <tex> p </tex> и <tex> q </tex> — состояния из <tex> Q </tex>, а <tex> X </tex> — магазинный символ из <tex> \Gamma </tex>.
 +
Грамматика <tex> G </tex> имеет следующие продукции:
 +
*a) продукции <tex> S \rightarrow [q_0Z_0p] </tex> для всех <tex> p </tex>, таким образом <tex> (q,w,Z_0)\vdash^* (q,\varepsilon,\varepsilon)</tex>
 +
*b) пусть <tex> \delta(q,a,X) </tex> содержит <tex> (r,Y_1Y_2...Y_k)</tex>. Тогда для всех списков состояний <tex> r_1,r_2,...,r_k</tex> в грамматике <tex> G </tex> есть продукция <tex> [qXr_k]\rightarrow a[r Y_1 r_1][r_1 Y_1 r_2]...[r_{k-1} Y_k r_k]</tex>.
 +
Докажем, что если <tex> (q,w,X) \vdash^* (p,\varepsilon,\varepsilon)</tex>, то <tex> [qXp] \Rightarrow^* w </tex>.
 +
*База. Пара <tex> (p,\varepsilon) </tex> должна быть в <tex> \delta(q,w,X) </tex> и <tex> w </tex> есть одиночный символ, или <tex>\varepsilon</tex>. Из построения <tex> G </tex> следует, что <tex> [qXp] \rightarrow w </tex> является продукцией, поэтому <tex> [qXp] \Rightarrow w </tex>.
 +
*Переход. Предположим, что последовательность <tex> (q,w,X) \vdash^* (p,\varepsilon,\varepsilon)</tex> состоит из <tex> n </tex> переходов, и <tex> n>1 </tex>. Первый переход должен иметь вид:
 +
<tex> (q,w,Z) \vdash (r_0,X,Y_1Y_2...Y_k) \vdash^* (p,\varepsilon,\varepsilon) </tex>, где <tex> w=aX </tex> для некоторого <tex> a </tex>, которое является либо символом из <tex> \Gamma </tex>, либо <tex> \varepsilon </tex>. По построению <tex> G </tex> существует продукция <tex> [qXr_k] \rightarrow a[r_0 Y_1 r_1][r_1 Y_2 r_2]...[r_{k-1} Y_k r_k] </tex>, где <tex> r_i</tex> — состояния из <tex> Q </tex>, и <tex> r_k = p </tex>. Пусть <tex> X=w_1 w_2 ... w_k </tex>, где <tex> w_i </tex> — входная цепочка, которая прочитывается до удаления <tex> Y_i </tex> из стека, тогда <tex> (r_{i-1},w_i, Y_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. По скольку ни одна из этих последовательностей переходов не содержит более, чем <tex> n </tex>  переходов, к ним можно применить предположение индукции <tex> [r_{i-1}Y_ir_i] \Rightarrow^* w_i</tex>. Соберем эти порождения вместе: <br>
 +
<tex> [qXr_k] \Rightarrow a[r_0Y_1r_1][r_1Y_1r_2]...[r_{k-1}Y_kr_k] \Rightarrow^* aw_1[r_1Y_1r_2]...[r_{k-1}Y_kr_k] \Rightarrow^* aw_1w_2[r_2Y_3r_3]...[r_{k-1}Y_kr_k] \Rightarrow^*... \Rightarrow^* aw_1w_2...w_k = w</tex>.
 +
-->
 
}}
 
}}
  
=== Пример ===
+
==== Пример ====
 
Пусть у нас имеется МП-автомат <tex>A = \langle \{i,e\}, \{Z\}, \{q\}, q, Z, \delta \rangle</tex>, функция <tex>\delta</tex> задана следующим образом:
 
Пусть у нас имеется МП-автомат <tex>A = \langle \{i,e\}, \{Z\}, \{q\}, q, Z, \delta \rangle</tex>, функция <tex>\delta</tex> задана следующим образом:
:<tex>\delta(q, i, Z) = \{(q, ZZ)\}</tex>
+
*<tex>\delta(q, i, Z) = \{(q, ZZ)\}</tex>,
:<tex>\delta(q, e, Z) = \{(q, \varepsilon)\}</tex>
+
*<tex>\delta(q, e, Z) = \{(q, \varepsilon)\}</tex>.
  
 
[[Файл:Example2.png]]
 
[[Файл:Example2.png]]
Строка 78: Строка 93:
 
Так как стековый алфавит <tex>A</tex> содержит лишь один символ и одно состояние, то в построенной грамматике будет лишь 2 нетерминала:
 
Так как стековый алфавит <tex>A</tex> содержит лишь один символ и одно состояние, то в построенной грамматике будет лишь 2 нетерминала:
  
*<tex>S</tex> — стартовый нетерминал.
+
* <tex>S</tex> — стартовый нетерминал.
  
*<tex>[qZq]</tex> — единственная тройка, которую можно собрать из состояний автомата и символов стекового алфавита.
+
* <tex>[qZq]</tex> — единственная тройка, которую можно собрать из состояний автомата и символов стекового алфавита.
  
 
Также грамматика имеет следующие правила вывода:
 
Также грамматика имеет следующие правила вывода:
Строка 87: Строка 102:
 
* Из <tex>\delta(q,e,Z)=\{(q,\varepsilon)\}</tex> получаем правило вывода <tex>[qZq] \rightarrow e</tex>
 
* Из <tex>\delta(q,e,Z)=\{(q,\varepsilon)\}</tex> получаем правило вывода <tex>[qZq] \rightarrow e</tex>
 
Для удобства тройку <tex>[qZq]</tex> можно заменить символом <tex>A</tex>, в таком случае правила вывода в грамматике будут следующие:
 
Для удобства тройку <tex>[qZq]</tex> можно заменить символом <tex>A</tex>, в таком случае правила вывода в грамматике будут следующие:
:<tex>S \rightarrow A</tex>
+
* <tex>S \rightarrow A</tex>;
:<tex>A \rightarrow iAA</tex>
+
* <tex>A \rightarrow iAA</tex>;
:<tex>A \rightarrow e</tex>
+
* <tex>A \rightarrow e</tex>.
 
Упростим грамматику, заменив <tex>A</tex> на <tex>S</tex> (очевидно, она не поменяется), и получим в результате <tex>\Gamma = \langle\{i,e\}, \{S\}, S, \{S \rightarrow iSS | e\}\rangle</tex>
 
Упростим грамматику, заменив <tex>A</tex> на <tex>S</tex> (очевидно, она не поменяется), и получим в результате <tex>\Gamma = \langle\{i,e\}, \{S\}, S, \{S \rightarrow iSS | e\}\rangle</tex>
  
== Эквивалентность языков МП-автоматов и КС-языков==
+
 
 +
=== Эквивалентность языков МП-автоматов и КС-языков===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about = об эквивалентности языков МП-автоматов и КС-языков
 
|about = об эквивалентности языков МП-автоматов и КС-языков
Строка 99: Строка 115:
 
}}
 
}}
  
== Следствия ==
+
=== Замечания ===
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement = Для любого МП-автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат с одним состоянием.
 
|statement = Для любого МП-автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат с одним состоянием.
Строка 114: Строка 130:
 
|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату, затем по полученной грамматике построим МП-автомат, как указано выше. Заметим, что этот автомат не будет иметь <tex>\varepsilon</tex>-переходов, что и требовалось доказать.
 
|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату, затем по полученной грамматике построим МП-автомат, как указано выше. Заметим, что этот автомат не будет иметь <tex>\varepsilon</tex>-переходов, что и требовалось доказать.
 
}}
 
}}
== См. также ==
+
=== Литература ===
*[[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | Контекстно-свободные грамматики]]
+
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 251.
*[[Автоматы с магазинной памятью | Автоматы с магазинной памятью]]
 
 
 
== Источники информации ==
 
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Pushdown_automaton#PDA_and_context-free_languages Wikipedia — PDA and context-free languages]
 
* Введение в теорию автоматов, языков и вычислений / Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. —  М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. с. 251. — ISBN 5-8459-0261-4
 
  
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: МП-автоматы]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: