1632
правки
Изменения
м
Проверим сначала Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:
rollbackEdits.php mass rollback
{{В разработке}}
[[Спектр линейного оператора|<<]][[Компактный оператор |>>]]
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:
По определению нормыоператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\Longrightarrowsubset</tex>:
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>
<tex>\Longleftarrowsupset</tex>:
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.
Рассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>.
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphivarphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphivarphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphivarphi_0(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь Для этого перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} (y) \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>
