Редактирование: Сортировка слиянием

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
'''Сортировка слиянием''' (англ. ''Merge sort'') {{---}} алгоритм сортировки, использующий <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и работающий за <tex>O(n\log(n))</tex> времени.
+
==Описание==
 +
'''Сортировка слиянием''' алгоритм сортировки. Он был пред­ло­жен Джо­ном фон Ней­ма­ном в 1945 го­ду.
 +
 
 +
Это устойчивый ал­го­ритм, использующий <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и <tex>O(n</tex> <tex>\log n)</tex> времени.
  
 
==Принцип работы==
 
==Принцип работы==
[[Файл:Merging_two_arrays.png|270px|right|thumb|Пример работы процедуры слияния.]]
+
[[Файл:Merge-sort-example.png|right|300px|thumb|Пример работы процедуры слияния.]]
 
+
Алгоритм использует прицип «разделяй и властвуй»: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, которые решаются по отдельности, после чего их решения комбинируются для получения решения исходной задачи. Конкретно процедуру сортировки слиянием можно описать следующим образом:
[[Файл:Merge sort1.png|300px|right|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием]]
 
 
 
[[Файл:Merge sort itearative.png|300px|right|thumb|Пример работы итеративного алгоритма сортировки слиянием]]
 
 
 
Алгоритм использует принцип «разделяй и властвуй»: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, которые решаются по отдельности, после чего их решения комбинируются для получения решения исходной задачи. Конкретно процедуру сортировки слиянием можно описать следующим образом:
 
  
# Если в рассматриваемом массиве один элемент, то он уже отсортирован {{---}} алгоритм завершает работу.
+
# Если в рассматриваемом массиве один элемент, то он уже отсортирован алгоритм завершает работу.
 
# Иначе массив разбивается на две части, которые сортируются рекурсивно.
 
# Иначе массив разбивается на две части, которые сортируются рекурсивно.
 
# После сортировки двух частей массива к ним применяется процедура слияния, которая по двум отсортированным частям получает исходный отсортированный массив.
 
# После сортировки двух частей массива к ним применяется процедура слияния, которая по двум отсортированным частям получает исходный отсортированный массив.
  
 
===Слияние двух массивов===
 
===Слияние двух массивов===
У нас есть два массива <tex>a</tex> и <tex>b</tex> (фактически это будут две части одного массива, но для удобства будем писать, что у нас просто два массива). Нам надо получить массив <tex>c</tex> размером <tex>|a| + |b|</tex>. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (начиная с начала) и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив. После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.
+
У нас есть два массива <tex>A</tex> и <tex>B</tex> (фактически это будут две части одного массива, но для удобства будем писать, что у нас просто два массива). Нам надо получить массив <tex>C</tex> размером <tex>|A| + |B|</tex>. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (начиная с начала) и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив. После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.
  
Множество отсортированных списков с операцией <tex>\mathrm{merge}</tex> является [[Моноид|моноидом]], где нейтральным элементом будет пустой список.
+
Ниже приведён псевдокод процедуры слияния, который сливает две части массива A — <tex>[left; mid)</tex> и <tex>[mid; right)</tex>
  
Ниже приведён псевдокод процедуры слияния, который сливает две части массива <tex>a</tex> {{---}} <tex>[left; mid)</tex> и <tex>[mid; right)</tex>
+
  Merge(A : '''int[1..N]'''; left, mid, right : '''int'''):
<code style="display: inline-block">
 
  '''function''' merge(a : '''int[n]'''; left, mid, right : '''int'''):
 
 
     it1 = 0
 
     it1 = 0
 
     it2 = 0
 
     it2 = 0
Строка 27: Строка 23:
 
    
 
    
 
     '''while''' left + it1 < mid '''and''' mid + it2 < right
 
     '''while''' left + it1 < mid '''and''' mid + it2 < right
         '''if''' a[left + it1] < a[mid + it2]
+
         '''if''' A[left + it1] < A[mid + it2]
             result[it1 + it2] = a[left + it1]
+
             result[it1 + it2] = A[left + it1]
 
             it1 += 1
 
             it1 += 1
 
         '''else'''
 
         '''else'''
             result[it1 + it2] = a[mid + it2]
+
             result[it1 + it2] = A[mid + it2]
 
             it2 += 1
 
             it2 += 1
 
    
 
    
 
     '''while''' left + it1 < mid
 
     '''while''' left + it1 < mid
         result[it1 + it2] = a[left + it1]
+
         result[it1 + it2] = A[left + it1]
 
         it1 += 1
 
         it1 += 1
 
    
 
    
 
     '''while''' mid + it2 < right
 
     '''while''' mid + it2 < right
         result[it1 + it2] = a[mid + it2]
+
         result[it1 + it2] = A[mid + it2]
 
         it2 += 1
 
         it2 += 1
 
    
 
    
 
     '''for''' i = 0 '''to''' it1 + it2
 
     '''for''' i = 0 '''to''' it1 + it2
         a[left + i] = result[i]
+
         A[left + i] = result[i]
</code>
 
  
 
===Рекурсивный алгоритм===
 
===Рекурсивный алгоритм===
Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале <tex>[left; right)</tex>.
+
[[Файл:Merge sort1.png|300px|right|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием]]
<code style="display: inline-block">
+
Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале [left; right).
  '''function''' mergeSortRecursive(a : '''int[n]'''; left, right : '''int'''):
+
 
 +
  MergeSort(A : '''int[1..N]'''; left, right : '''int'''):
 
     '''if''' left + 1 >= right
 
     '''if''' left + 1 >= right
         '''return'''
+
         return
 
     mid = (left + right) / 2
 
     mid = (left + right) / 2
     mergeSortRecursive(a, left, mid)
+
     MergeSort(A, left, mid)
     mergeSortRecursive(a, mid, right)
+
     MergeSort(A, mid, right)
     merge(a, left, mid, right)
+
     Merge(A, left, mid, right)
</code>
 
  
===Итеративный алгоритм===
+
Пример работы алгоритма показан на рисунке:
При итеративном алгоритме используется на <tex>O(\log n)</tex> меньше памяти, которая раньше тратилась на рекурсивные вызовы.
 
<code style="display: inline-block">
 
'''function''' mergeSortIterative(a : '''int[n]'''):
 
    '''for''' i = 1 '''to''' n, i *= 2
 
        '''for''' j = 0 '''to''' n - i, j += 2 * i
 
            merge(a, j, j + i, min(j + 2 * i, n))
 
</code>
 
  
 
==Время работы==
 
==Время работы==
Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <tex>T(n)</tex> {{---}} время сортировки массива длины <tex>n</tex>, тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>
+
Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <tex>T(n)</tex> время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>
<tex>O(n)</tex> {{---}} время, необходимое на то, чтобы слить два массива длины <tex>n</tex>. Распишем это соотношение:
+
(<tex>O(n)</tex> — это время, необходимое на то, чтобы слить два массива). Распишем это соотношение:
 
 
<tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)=4T(n/4)+2O(n)=\dots=T(1)+\log(n)O(n)=O(n\log(n))</tex>.
 
 
 
==Сравнение с другими алгоритмами==
 
Достоинства:
 
* устойчивая,
 
* можно написать эффективную [[Многопоточная сортировка слиянием|многопоточную сортировку слиянием]],
 
* сортировка данных, расположенных на периферийных устройствах и не вмещающихся в оперативную память<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/External_sorting Wikipedia {{---}} External sorting]</ref>.
 
Недостатки:
 
* требуется дополнительно <tex>O(n)</tex> памяти, но можно модифицировать до <tex>O(1)</tex>.
 
  
==См. также==
+
<tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)=4T(n/4)+2O(n)=\dots=2^kT(1)+kO(n)</tex>.
* [[Сортировка кучей]]
 
* [[Быстрая сортировка]]
 
* [[Timsort]]
 
* [[Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти]]
 
  
==Примечания==
+
Осталось оценить <tex>k</tex>. Мы знаем, что <tex>2^k=n</tex>, а значит <tex>k=\log n</tex>. Уравнение примет вид <tex>T(n)=nT(1)+ \log n</tex> <tex>O(n)</tex>. Так как <tex>T(1)</tex> — константа, то <tex>T(n)=O(n)+\log n </tex> <tex>O(n)=O(n\log n)</tex>.
<references/>
 
  
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Mergesort Википедия {{---}} сортировка слиянием]
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Mergesort Википедия {{---}} сортировка слиянием]
 +
 +
==Ссылки==
 
*[http://www.sorting-algorithms.com/merge-sort Визуализатор]
 
*[http://www.sorting-algorithms.com/merge-sort Визуализатор]
*[https://ru.wikibooks.org/wiki/Примеры_реализации_сортировки_слиянием Викиучебник {{---}} Примеры реализации на различных языках программирования]
+
*[http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B_%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D0%BC Викиучебник {{---}} Примеры реализации на различных языках программирования]
  
 +
==См. также==
 +
* [[Сортировка кучей]]
 +
* [[Быстрая сортировка]]
 +
*[[Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти]]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
+
[[Категория: Сортировка]]
 
[[Категория: Сортировки на сравнениях]]
 
[[Категория: Сортировки на сравнениях]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: