Сортировка слиянием — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Слияние двух массивов)
м
 
(не показано 47 промежуточных версий 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
==Описание==
+
'''Сортировка слиянием''' (англ. ''Merge sort'') {{---}} алгоритм сортировки, использующий <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и работающий за <tex>O(n\log(n))</tex> времени.
'''Сортировка слиянием''' алгоритм сортировки. Он был пред­ло­жен Джо­ном фон Ней­ма­ном в 1945 го­ду.
 
  
Это устойчивый ал­го­ритм, использующий <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и <tex>O(n</tex> <tex>\log(n))</tex> времени.
+
==Принцип работы==
*[http://www.sorting-algorithms.com/merge-sort Анимированная работа алгоритма (англ.)]
+
[[Файл:Merging_two_arrays.png|270px|right|thumb|Пример работы процедуры слияния.]]
 +
 
 +
[[Файл:Merge sort1.png|300px|right|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием]]
  
==Принцип работы==
+
[[Файл:Merge sort itearative.png|300px|right|thumb|Пример работы итеративного алгоритма сортировки слиянием]]
[[Файл:Merge-sort-example.jpg|right|300px|thumb|Пример работы процедуры слияния.]]
 
Этот алгоритм использует принцип «разделяй и властвуй». Этот принцип заключается в том, что исходная задача разбивается на подзадачи меньшего размера, а потом они решаются рекурсивным методом или же конкретно, если их размер мал. Потом из решения объединяются и получается решение основной (исходной) задачи.
 
  
Для процедуры слияния требуется два отсортированных массива. Зная, что массив из одного элемента по определению отсортирован, мы можем разработать такой алгоритм:
+
Алгоритм использует принцип «разделяй и властвуй»: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, которые решаются по отдельности, после чего их решения комбинируются для получения решения исходной задачи. Конкретно процедуру сортировки слиянием можно описать следующим образом:
  
# Массив разбивается на половинки до тех пор, пока размер "половинки" не станет равным единице.
+
# Если в рассматриваемом массиве один элемент, то он уже отсортирован {{---}} алгоритм завершает работу.
# Каждая из получившихся частей сортируется отдельно. Или же это просто одиночный элемент.
+
# Иначе массив разбивается на две части, которые сортируются рекурсивно.
# "Сливаем" два упорядоченных массива в один.
+
# После сортировки двух частей массива к ним применяется процедура слияния, которая по двум отсортированным частям получает исходный отсортированный массив.
  
 
===Слияние двух массивов===
 
===Слияние двух массивов===
У нас есть два массива <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Нам надо получить массив <tex>C</tex> размером <tex>sizeof(A) + sizeof(B)</tex>. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (начиная с начала) и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив. После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.
+
У нас есть два массива <tex>a</tex> и <tex>b</tex> (фактически это будут две части одного массива, но для удобства будем писать, что у нас просто два массива). Нам надо получить массив <tex>c</tex> размером <tex>|a| + |b|</tex>. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (начиная с начала) и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив. После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.
  
Алгоритм слияния формально можно записать следующим образом:
+
Множество отсортированных списков с операцией <tex>\mathrm{merge}</tex> является [[Моноид|моноидом]], где нейтральным элементом будет пустой список.
  
<pre>// слияние двух частей одного массива с помощью временного
+
Ниже приведён псевдокод процедуры слияния, который сливает две части массива <tex>a</tex> {{---}} <tex>[left; mid)</tex> и <tex>[mid; right)</tex>
// left - левая граница, right - правая, middle - середина
+
<code style="display: inline-block">
merge(array a, int left, int middle, int right)  
+
'''function''' merge(a : '''int[n]'''; left, mid, right : '''int'''):
  i = left, j = middle, k = 0;
+
    it1 = 0
  array temp = new array[a.size()];
+
    it2 = 0
  while i <= middle and j < right
+
    result : '''int[right - left]'''
    if (a[j] < a[i])
+
 
      temp[k++] = a[j++];
+
    '''while''' left + it1 < mid '''and''' mid + it2 < right
    else
+
        '''if''' a[left + it1] < a[mid + it2]
      temp[k++] = a[i++];
+
            result[it1 + it2] = a[left + it1]
  while i <= middle
+
            it1 += 1
    temp[k++] = a[i++];
+
        '''else'''
  while j < right
+
            result[it1 + it2] = a[mid + it2]
    temp[k++] = a[j++];
+
            it2 += 1
  for (int t = 0; t != k; t++)
+
 
    a[t] = temp[t];
+
    '''while''' left + it1 < mid
// в конце a[1..k] это будет отсортированный массив
+
        result[it1 + it2] = a[left + it1]
</pre>
+
        it1 += 1
 +
 
 +
    '''while''' mid + it2 < right
 +
        result[it1 + it2] = a[mid + it2]
 +
        it2 += 1
 +
 
 +
    '''for''' i = 0 '''to''' it1 + it2
 +
        a[left + i] = result[i]
 +
</code>
  
 
===Рекурсивный алгоритм===
 
===Рекурсивный алгоритм===
[[Файл:Merge sort1.png|300px|right|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием]]
+
Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале <tex>[left; right)</tex>.
Функция сортирует участок массива от элемента с номером left до элемен­та с номером right. Будем реализовывать так, что бы производилась сортировка полуинтервала [left, right)
+
<code style="display: inline-block">
 +
'''function''' mergeSortRecursive(a : '''int[n]'''; left, right : '''int'''):
 +
    '''if''' left + 1 >= right
 +
        '''return'''
 +
    mid = (left + right) / 2
 +
    mergeSortRecursive(a, left, mid)
 +
    mergeSortRecursive(a, mid, right)
 +
    merge(a, left, mid, right)
 +
</code>
  
right и left — правая и левая граница массива, middle — середина.
+
===Итеративный алгоритм===
 +
При итеративном алгоритме используется на <tex>O(\log n)</tex> меньше памяти, которая раньше тратилась на рекурсивные вызовы.
 +
<code style="display: inline-block">
 +
'''function''' mergeSortIterative(a : '''int[n]'''):
 +
    '''for''' i = 1 '''to''' n, i *= 2
 +
        '''for''' j = 0 '''to''' n - i, j += 2 * i
 +
            merge(a, j, j + i, min(j + 2 * i, n))
 +
</code>
  
Условие выхода — если массив стал состоять из 1 элемента.
+
==Время работы==
<pre>
+
Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <tex>T(n)</tex> {{---}} время сортировки массива длины <tex>n</tex>, тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>
sort(array a, int left, int right)
+
<tex>O(n)</tex> {{---}} время, необходимое на то, чтобы слить два массива длины <tex>n</tex>. Распишем это соотношение:
  middle = (left + right) / 2
 
  if middle == right   
 
    return;
 
  sort(a, left, middle);
 
  sort (a, middle, right);
 
  merge(array a, left, middle, right);
 
</pre>
 
  
Пример работы алгоритма показан на рисунке:
+
<tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)=4T(n/4)+2O(n)=\dots=T(1)+\log(n)O(n)=O(n\log(n))</tex>.
  
==Время работы==
+
==Сравнение с другими алгоритмами==
Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <tex>T(n)</tex> — время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>
+
Достоинства:
(<tex>O(n)</tex> — это время, необходимое на то, чтобы слить два массива). Распишем это соотношение:
+
* устойчивая,
 +
* можно написать эффективную [[Многопоточная сортировка слиянием|многопоточную сортировку слиянием]],
 +
* сортировка данных, расположенных на периферийных устройствах и не вмещающихся в оперативную память<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/External_sorting Wikipedia {{---}} External sorting]</ref>.
 +
Недостатки:
 +
* требуется дополнительно <tex>O(n)</tex> памяти, но можно модифицировать до <tex>O(1)</tex>.
  
<tex>T(n)</tex> <tex>=</tex> <tex>2T(n/2)</tex> <tex>+</tex> <tex>O(n)</tex> <tex>=</tex> <tex>4T(n/4)</tex> <tex>+</tex> <tex>2O(n)</tex> <tex>=</tex> <tex>...</tex> <tex>=</tex> <tex>2^kT(1)</tex> <tex>+</tex> <tex>kO(n).</tex>
+
==См. также==
 +
* [[Сортировка кучей]]
 +
* [[Быстрая сортировка]]
 +
* [[Timsort]]
 +
* [[Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти]]
  
Осталось оценить <tex>k</tex>. Мы знаем, что <tex>2^k=n</tex>, а значит <tex>k=\log(n)</tex>. Уравнение примет вид <tex>T(n)=nT(1)+ \log(n)O(n)</tex>. Так как <tex>T(1)</tex> — константа, то <tex>T(n)=O(n)+\log(n)O(n)=O(n\log n)</tex>.
+
==Примечания==
 +
<references/>
  
 +
==Источники информации==
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Mergesort Википедия {{---}} сортировка слиянием]
 +
*[http://www.sorting-algorithms.com/merge-sort Визуализатор]
 +
*[https://ru.wikibooks.org/wiki/Примеры_реализации_сортировки_слиянием Викиучебник {{---}} Примеры реализации на различных языках программирования]
  
==Ссылки==
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Mergesort Википедия — сортировка слиянием]
 
*[http://www.sorting-algorithms.com/merge-sort Сортировка слиянием, анимация и свойства (англ.)]
 
*[http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B_%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D0%BC Примеры реализации на различных языках (Википедия)]
 
*[http://iproc.ru/parallel-programming/lection-6/ Сортировка слиянием в картинках (источник картинок в статье)]
 
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Сортировки]]
 
[[Категория: Сортировки]]
 +
[[Категория: Сортировки на сравнениях]]

Текущая версия на 15:42, 17 января 2019

Сортировка слиянием (англ. Merge sort) — алгоритм сортировки, использующий [math]O(n)[/math] дополнительной памяти и работающий за [math]O(n\log(n))[/math] времени.

Принцип работы[править]

Пример работы процедуры слияния.
Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием
Пример работы итеративного алгоритма сортировки слиянием

Алгоритм использует принцип «разделяй и властвуй»: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, которые решаются по отдельности, после чего их решения комбинируются для получения решения исходной задачи. Конкретно процедуру сортировки слиянием можно описать следующим образом:

  1. Если в рассматриваемом массиве один элемент, то он уже отсортирован — алгоритм завершает работу.
  2. Иначе массив разбивается на две части, которые сортируются рекурсивно.
  3. После сортировки двух частей массива к ним применяется процедура слияния, которая по двум отсортированным частям получает исходный отсортированный массив.

Слияние двух массивов[править]

У нас есть два массива [math]a[/math] и [math]b[/math] (фактически это будут две части одного массива, но для удобства будем писать, что у нас просто два массива). Нам надо получить массив [math]c[/math] размером [math]|a| + |b|[/math]. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (начиная с начала) и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив. После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.

Множество отсортированных списков с операцией [math]\mathrm{merge}[/math] является моноидом, где нейтральным элементом будет пустой список.

Ниже приведён псевдокод процедуры слияния, который сливает две части массива [math]a[/math][math][left; mid)[/math] и [math][mid; right)[/math]

function merge(a : int[n]; left, mid, right : int):
    it1 = 0
    it2 = 0
    result : int[right - left]
  
    while left + it1 < mid and mid + it2 < right
        if a[left + it1] < a[mid + it2]
            result[it1 + it2] = a[left + it1]
            it1 += 1
        else
            result[it1 + it2] = a[mid + it2]
            it2 += 1
  
    while left + it1 < mid
        result[it1 + it2] = a[left + it1]
        it1 += 1
  
    while mid + it2 < right
        result[it1 + it2] = a[mid + it2]
        it2 += 1
  
    for i = 0 to it1 + it2
        a[left + i] = result[i]

Рекурсивный алгоритм[править]

Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале [math][left; right)[/math].

function mergeSortRecursive(a : int[n]; left, right : int):
    if left + 1 >= right
        return
    mid = (left + right) / 2
    mergeSortRecursive(a, left, mid)
    mergeSortRecursive(a, mid, right)
    merge(a, left, mid, right)

Итеративный алгоритм[править]

При итеративном алгоритме используется на [math]O(\log n)[/math] меньше памяти, которая раньше тратилась на рекурсивные вызовы.

function mergeSortIterative(a : int[n]):
    for i = 1 to n, i *= 2
        for j = 0 to n - i, j += 2 * i
            merge(a, j, j + i, min(j + 2 * i, n))

Время работы[править]

Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай [math]T(n)[/math] — время сортировки массива длины [math]n[/math], тогда для сортировки слиянием справедливо [math]T(n)=2T(n/2)+O(n)[/math]
[math]O(n)[/math] — время, необходимое на то, чтобы слить два массива длины [math]n[/math]. Распишем это соотношение:

[math]T(n)=2T(n/2)+O(n)=4T(n/4)+2O(n)=\dots=T(1)+\log(n)O(n)=O(n\log(n))[/math].

Сравнение с другими алгоритмами[править]

Достоинства:

Недостатки:

  • требуется дополнительно [math]O(n)[/math] памяти, но можно модифицировать до [math]O(1)[/math].

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]