Сортирующие сети для квадратичных сортировок

Рассмотрим модели сортирующих сетей для квадратичных сортировок.

Сортирующие сети с последовательной сортировкой

На один слой будем устанавливать только один компаратор. Все последующие сети получаются простым моделированием соответствующих сортировок.

Сортировка пузырьком	Сортировка вставками	Сортировка выбором

Сортирующие сети с параллельной сортировкой

На один слой будем устанавливать несколько компараторов.

Сортировка пузырьком и вставками

Заметим, если сжать последовательные сортирующие сети пузырьком и вставками, то результат будет одним и тем же. Этот факт легко заметить, сдвинув компараторы вправо и влево соответственно и разрешив выполнять одновременные вычисления.

Теорема:

В результирующей сети будет [math](2n - 3)[/math] слоев, где [math]n[/math] - количество входов.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем данное утверждение по принципу математической индукции. База индукции: При [math] n = 2 [/math]. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется. Шаг индукции: Пусть [math] S(n) = 2n - 3 [/math] — количество слоев в сети сортировки. При переходе от сортирующей сети с [math]n[/math] входами к сети с [math]n + 1[/math] входами, добавляем [math] n [/math] дополнительных компараторов. В полученной "треугольной" сети можно заметить, что [math]n - 1[/math] компаратор входят в уже существующие слои, но тогда один компаратор из предыдущей сортирующий сети и один из добавленных не вносят вклад в количество слоев. Тогда можно получить рекуррентное соотношение: [math] S(n + 1) = S(n) + 2 [/math]. Данное рекуррентное соотношение имеет решение [math] S(n) = 2n - 3 [/math]. Что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Сортирующая сеть для [math] n = 6 [/math]:

Сортировка выбором

Будем объединять в слой

Теорема:

В результирующей сети будет [math]2n - 3[/math] слой, где [math] n [/math] — количество входов.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Определим операцию вложения компаратора [math] [i:j] [/math] в компаратор [math] [t:s] [/math]. Для этого разместим компаратор [math] [i:j] [/math] и [math] [t:s] [/math] на одном слое, так, что [math] t \lt i \lt j \lt s [/math]. Теперь воспользуемся принципом математической индукции. База индукции: [math] n = 2 [/math]. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется. Шаг индукции: Пусть [math] S(n) [/math] - количество слоев в сети сортировки с [math] n [/math] входами. При переходе от сортирующей сети с [math]n[/math] входами к сети с [math]n + 1[/math] входами, добавляем [math] n [/math] компаратор[math]\left( [0:1] \dots [0:n]\right) [/math]. Заметим, что в [math] n - 2 [/math] добавленных компараторов можно вложить [math] n - 2 [/math] компараторов из предыдущей сети, так, что условие слоя не нарушатся. Тогда останется два компаратора: [math][0:1], [0:2] [/math] в которые ничего нельзя вложить, чтобы не нарушить условие вложения. Тогда количество слоев изменяется на [math] 2 [/math]. Однако, начиная с [math] n = 4 [/math] можно перенести свободные компараторы и слить их в один слой, но при этом сеть перестает быть сортирующей (при [math] n = 4 [/math] ошибка будет возникать на векторе [math] 0100 [/math]). Тем самым получили рекуррентное соотношение: [math] S(n + 1) = S(n) + 2 [/math] с начальными данными ([math]S(2) = 1[/math]). Решением данного рекуррентного соотношения является [math] S(n) = 2n - 3 [/math]. Что и требовалось доказать

[math]\triangleleft[/math]

См.также

• Сортировочные сети с особыми свойствами

Источники информации

• Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и Поиск. стр. 238— ISBN 0-201-89685-0
• Кормен, Томас Х.,Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 27. Сортирующие сети // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — С. 799 - 822. — ISBN 5-8459-0857-4.
• Википедия - Сети сортировки