Изменения
Нет описания правки
Если сходится <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{\lambda} A)^n</tex>, то он и будет совпадать с <tex>(I - \frac{1}{\lambda} A)^{-1}</tex> (показывали это в [[Теорема_Банаха_об_обратном_операторе | теореме Банаха для I - C]])
Так как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A^n\|^n} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.
Таким образом, при <tex>r_\sigma < |\lambda|</tex>, обратный оператор к <tex>I - \frac{1}{\lambda}A</tex> существует, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Значит, спектр полностью содержится во множестве, в котором <tex>r_\sigma \ge |\lambda|</tex>.
<tex>\|A\| < +\infty \implies \sigma(A) \ne \emptyset</tex>
|proof=
Если <tex>L(X)</tex> (пространство линейных ограниченных операторов <tex>A: X \rightarrow to X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n\lambda^n</tex>, их свойства копируют свойства обычных степенных рядов. Воспользуемся аналитичностью резольвенты: если <tex>\sigma(A) = \emptyset</tex>, то <tex> \rho(A) = \mathbb{C}</tex>, то есть в пределах любого круга и в бесконечно удаленой точке резольвента ограничена, тогда по [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(complex_analysis) теореме Лиувилля] (если на всей комплексной плоскости функция <tex>f(z)</tex> равномерно ограничена, она тождественно равна постоянной) ({{TODO|t=требуется ограниченность всех точек в совокупности, непонятно почему это выполняется. Еще она формулируется для фунции в C, а не в операторы, что меня смущает. Вот [http://www.mathforum.ru/forum/read/1/572/ тут] или [http://planetmath.org/spectrumisanonemptycompactset тут], возможно, есть объяснение}}), <tex>R_\lambda</tex> — константная функция, но тогда бы все <tex>A - \lambda I</tex> были бы одинаковы, чего, очевидно, быть не может, то есть получили противоречие и спектр непуст.
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
