Изменения
Нет описания правки
# В случае, если НОД длин циклов единственного эргодического класса не равен 1, соотвтствующая Марковская цепь будет периодической и эргодического распреления не будет. Тем не менее, что можно сказать про распределения в моменты с заданным остатком по модулю НОД длин циклов?
# Завершите доказательство леммы из эргодической теоремы для регулярных цепей. Докажите, что если $P$ - матрица переходов, не содержащая нулей, то для любого вектора $u$ с максимальным элементом $M$ и минимальным элементом $m$ максимальный и минимальный элементы $Pu$ $M'$ и $m'$, соответственно, удовлетворяют условиям $m \le m'$, $M \ge M'$, $M'-m' \le (M - m)(1 - 2\varepsilon)$, где $\varepsilon$ - минимальный элемент $P$.
# В этом и последующих заданиях необходимо подробно изложить алгоритм вычисления числа комбинаторных объектов с таким префиксом, чтобы можно было получить объект по номеру и номер по объекту. Получение объекта по номеру и номера по объекту для перестановок.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для сочетаний.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для размещений.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для разбиений на слагаемые.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для скобочных последовательностей с одним типом скобок.
# Получение объекта по номеру и номера по объекту для скобочных последовательностей с двумя типами скобок.
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 0 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах, а также запрещается использовать 1 в разряде 1. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Предложите алгоритм получения следующего по номеру в лексикографическом порядке разбиения множества $\{1, \ldots, n\}$ на множества. Множества в каждом разбиении упорядочиваются лексикографически по представлениям в виде возрастающего списка элеметов. Разбиения далее упорядочиваются лексикографически как списки множеств.
# Предложите алгоритм получения следующего по номеру в лексикографическом порядке разбиения множества $\{1, \ldots, n\}$ на множества. Множества в каждом разбиении упорядочиваются лексикографически как битовые вектора. Разбиения далее упорядочиваются лексикографически как списки множеств.
</wikitex>
