Изменения

# Обозначим как Докажите, что для полинома $m_kp(Gx_1, \ldots, x_n)$ количество паросочетаний размера от $kn$ в двудольном графе переменных степени $Gd$, каждая доля которого содержит по над полем $nF$ вершин. Пусть граф содержит больше и множества $kS\subset F$ ребер. Докажите, что существует ребро размера $uvs$, такое что вероятность $m_kP(G)/m_kp(Gx_1, \setminus uvldots, x_n)=0) \le n$.# Пусть вероятностный алгоритм $U_k$ получает на вход граф $G$ и выдает случайное паросочетание в $G$ размера $kd/s$, причем где вероятностное пространство - равновероятно все паросочетания равновероятны. Покажитевектора $(x_1, как с использованием $U_k$ получить $\varepsilon$-$ldots, x_n)\deltain S^n$-FRPAS для доли паросочетаний. Используйте без доказательства, содержащих заданное ребро что полином от одной переменной степени $uvd$ в графе над любым полем имеет не более $Gd$корней.# Покажите, как с использованием что требование, что $U_kF$ из предедыдущего задания получить $\varepsilonполе в предыдущей задаче является существенным, приведите пример полинома степени $-d$\delta$-FRPAS для числа над кольцом, которое не является полем, имеющего более $m_k(G)d$корней.# Будем называть полиномиальный вероятностный алгоритм $U_k$ равномерным с точностью до $\rho$ генераторомПокажите, если он получает на вход граф что в определении PRAS можно заменить константу $G3/4$ и выдает случайное паросочетание в $G$ размера $k$требовании, причем для любого паросочетания что вероятность попасть в интервал $M$ $|P(U_k(G)=M) [1- \varepsilon;1/m_k(G)| +\le \rho/m_k(G)varepsilon]$. Пусть должна быть $\rho \le 13/n^b$ для некоторого $b$. Подберите константу $b4$, чтобы можно было решить задание 84на любое другое число, используя равномерный с точностью до строго большее $\rho1/2$ генератор.# Подберите константу Можно ли в предыдущем задании заменить $b1/2$, чтобы можно было решить задание 85, используя равномерный с точностью до на $\rho0$ генератор.?# Можно ли в решении задания 73 брать среднее значение в качестве оценки?# Пусть полиномиальный вероятностный алгоритм Рассмотрим формулу в ДНФ. Обозначим как $\hat U_kt$ получает на вход граф количество пар $G($ и выдает случайное паросочетание в терм$G,$ размера удовлетворяющее этот терм назначение переменных$k)$ или . Выберем случайно терм, где вероятность выбрать терм пропорциональна числу удовлетворяющих этот терм назначений. Выберем случайное назначение $k-1a$, причем все паросочетания равновероятныудовлетворяющее этот терм. Пусть Рассмотрим случайную величину $r X = m_k(G)t/m_{k-1}cov(Ga)$ удовлетворяет условию $1/n^2 \le r \le n^2$. Докажите, что с помощью где $\hat U_k$ можно получить $\varepsilon$-$\delta$-FRPAS для $m_kcov(Ga)$.# Подберите константу $b$, чтобы можно было решить задание 88- число термов, используя равномерный с точностью до удовлетворенных назначением $\rho \le 1/n^ba$ генератор.# Докажите, что если степень любой вершины в графе не меньше $n/2EX = Y$, то выполнено условие где $1/n^2 \le r \le n^2Y$ для задания 88- число удовлетворяющих назначений заданной формулы.# Соедините предыдущие На базе предыдущего задания, чтобы получить из существования равномерного с точностью до $\rho \le 1/n^b$ генератора $\hat U_k$ для любого $k$ $\varepsilon$-$\delta$-FPRAS для предложите альтернативный алгоритм апроксимации числа совершенных паросочетаний в двудольном графе, где степени всех вершин не меньше $n/2$удовлетворяющих назначений ДНФ.# Рассмотрим $\varepsilon$-$\delta$-FPRAS $A$ Рандомизированный алгоритм для числа паросочетаний в двудольном графе2SAT. Используя $A$, постройте полиномиальный вероятностный Рассмотрим следующий алгоритм, который является равномерным генератором решения задачи удовлетворимости булевой формулы в 2КНФ с точностью до $\rho = o(1)n$переменными. Выберем случайное значение каждой переменной.# Пусть существует полиномиальный детерминированный алгоритмЕсли формула не удовлетворена, который возвращает число совершенных паросочетаний выберем случайный не удовлетворенный клоз и инвертируем значение случайной переменной в двудольном графе, степень каждой вершины которого равна хотя бы $\beta n$, где $0 < \beta < 1$нем. Докажите, что если удовлетворяющее назначение существует полиномиальный детерминированный алгоритм, который возвращает число совершенных паросочетаний в произвольном двудольном графе.# Рассмотрим алгоритм приближения числа оно будет найдено за $\piO(n^2)$шагов. Будем генерировать точки с равномерным распределением в квадрате $1 \times 1$ Указание: зафиксируйте любое удовлетворяющее формулу назначение и считать долю попавших в круг диаметром 1рассмотрите задачу как случайное блуждание по прямой, вписанный в этот квадрат. Оцените где координата - это число итераций, необходимоепеременных, чтобы приблизить $\pi$ значение которых совпадает с точностью до $\varepsilon$значением в выбранном назначении.# Пусть матрица переходов эргодической марковской цепи является дважды стохастической (сумма элементов каждого столбца также равна 1). Почему алгоритм из предыдущего задания не работает для 3SAT?# Докажите, что стационарное распределение оценку из задания 78 нельзя улучшить: предложите формулу, для которой в среднем понадобится $\Omega(1/n, 1/n, \ldots, 1/n^2)$случайных шагов для поиска удовлетворяющего назначения.# Пусть матрицы $A$ и $B$ имеют один и тот же собственный вектор $x$ для собственных чисел $\lambda$ и $\mu$, соответственноПредложите аналогичный заданию 78 алгоритм поиска раскраски графа в два цвета. Докажите, что $x$ является собственным вектором # Почему алгоритм из предыдущего задания не работает для $A+B$. Для какого собственного числапоиска раскраски графа в три цвета?