Редактирование: Степенные ряды

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
 
 
== Определение ==
 
== Определение ==
  
Строка 17: Строка 16:
 
|author=Абель
 
|author=Абель
 
|statement=
 
|statement=
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится.  
+
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{a_n} x_0^n</tex> {{---}} сходится.  
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится.  
+
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>сходится.  
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>
 
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>
  
Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n </tex> - сходится, то <tex> a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
+
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
 
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
 
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
 
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>
 
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>
  
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он тоже сходится.
+
<tex>q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>, и поэтому, сходится.  
 
}}
 
}}
  
Строка 34: Строка 33:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|id=rad
 
 
|definition=
 
|definition=
 
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
 
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
Строка 52: Строка 50:
 
|proof=
 
|proof=
 
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани,  
 
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани,  
<tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex>, и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое.  
+
<tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex> и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое.  
  
 
2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex>
 
2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex>
Строка 72: Строка 70:
 
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.
 
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.
  
2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}</tex>, то <tex>R = \frac1q</tex>
+
2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <tex>R = q</tex>
  
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. <s> Но она сложная и никому не нужна. </s> Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.
+
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. Но она сложная и никому не нужна.
  
 
|proof=
 
|proof=
Строка 88: Строка 86:
  
 
Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.  
 
Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.  
При <tex>\sqrt[n]{| a_n x^n |} = \sqrt[n]{|a_n|} |x| \to q |x| </tex>. При <tex> q |x| < 1</tex> - ряд сходится, значит <tex>|x| < \frac1q </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 102: Строка 99:
  
  
Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> - <tex> (-x^2) </tex>.
+
Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> <tex>x^2</tex>:
 
 
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>".
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>".
  
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.
 +
  
 
== Произведение степенных рядов ==  
 
== Произведение степенных рядов ==  
  
По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если взять два степенных ряда, то на общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:
+
По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять два степенных ряда, то на общё части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:
  
 
<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>,  
 
<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>,  
Строка 127: Строка 124:
  
 
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
 
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
 
 
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
 
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
  
Строка 136: Строка 132:
  
 
Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости.  
 
Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости.  
 
Продифференцируем ряд и домножим полученный ряд на <tex>x</tex>.
 
  
 
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex>
 
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex>
Строка 145: Строка 139:
 
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда.  
 
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда.  
  
Обратное <s>очевидно</s> в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
+
Обратоное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
 
}}
 
}}
 
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)