Степенные ряды — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Произведение степенных рядов)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 19 промежуточных версий 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
 
== Определение ==
 
== Определение ==
  
Строка 16: Строка 17:
 
|author=Абель
 
|author=Абель
 
|statement=
 
|statement=
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{a_n} x_0^n</tex> {{---}} сходится.  
+
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится.  
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_0^n|</tex>сходится.  
+
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится.  
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>
 
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>
  
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
+
Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n </tex> - сходится, то <tex> a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
 
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
 
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex>  
 
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>
 
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>
  
<tex>q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>, и поэтому, сходится.  
+
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он тоже сходится.
 
}}
 
}}
  
Строка 33: Строка 34:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=rad
 
|definition=
 
|definition=
<tex>R = \sum \{x | \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
+
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 41: Строка 43:
 
Пусть есть ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> и <tex>R</tex> {{---}} его радиус сходимости. Тогда
 
Пусть есть ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> и <tex>R</tex> {{---}} его радиус сходимости. Тогда
 
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.
 
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.
2) <tex>\forall [a; b] \in (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.  
+
 
 +
2) <tex>\forall [a; b] \in (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.
 +
 
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится.  
 
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится.  
 +
 
4) <tex>|x| = R</tex> {{---}} неопределённость.  
 
4) <tex>|x| = R</tex> {{---}} неопределённость.  
 +
 
|proof=
 
|proof=
 
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани,  
 
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани,  
<tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex> и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое.  
+
<tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex>, и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое.  
  
 
2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex>
 
2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex>
Строка 66: Строка 72:
 
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.
 
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.
  
2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <tex>R = q</tex>
+
2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}</tex>, то <tex>R = \frac1q</tex>
  
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. Но она сложная и никому не нужна.
+
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. <s> Но она сложная и никому не нужна. </s> Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.
  
 
|proof=
 
|proof=
Строка 82: Строка 88:
  
 
Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.  
 
Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.  
 +
При <tex>\sqrt[n]{| a_n x^n |} = \sqrt[n]{|a_n|} |x| \to q |x| </tex>. При <tex> q |x| < 1</tex> - ряд сходится, значит <tex>|x| < \frac1q </tex>
 
}}
 
}}
 
  
 
== Примеры ==  
 
== Примеры ==  
Строка 96: Строка 102:
  
  
Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> <tex>x^2</tex>:
+
Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> - <tex> (-x^2) </tex>.
 +
 
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>".
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>".
  
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.
 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.
 
  
 
== Произведение степенных рядов ==  
 
== Произведение степенных рядов ==  
  
По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять два степенных ряда, то на общё части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:
+
По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если взять два степенных ряда, то на общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:
  
 
<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>,  
 
<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>,  
Строка 121: Строка 127:
  
 
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
 
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
 +
 
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
 
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
  
Строка 129: Строка 136:
  
 
Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости.  
 
Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости.  
 +
 +
Продифференцируем ряд и домножим полученный ряд на <tex>x</tex>.
  
 
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex>
 
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex>
Строка 136: Строка 145:
 
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда.  
 
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда.  
  
Обратоное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
+
Обратное <s>очевидно</s> в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022

<< >>

Определение

Определение:
Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n(x - x_0)^n[/math] — степенной ряд.


Сделаем замену [math]y = x - x_0[/math]. Тогда этот ряд превращается в [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n y^n[/math]. Поэтому, далее будем рассматривать только ряды с [math]x_0 = 0[/math], переход к общему случаю получается сдвигом.

Лемма Абеля

Вся теория степенных рядов основана на лемме Абеля.

Лемма (Абель):
Пусть для некоторого [math]x_0[/math] [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n[/math] — сходится. Тогда [math]\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|[/math] ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math] сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n[/math]

Так как [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n [/math] - сходится, то [math] a_n x^n \to 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists N\ \forall n \gt N\ |a_n x_0^n| \lt 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]|a_n x_1^n| \lt \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n[/math], [math]q = \frac{|x_1|}{|x_0|} \lt 1[/math]

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty q^n[/math] — сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он тоже сходится.
[math]\triangleleft[/math]

Радиус сходимости

Можно определить важнейшую для теории величину — радиус сходимости ряда.


Определение:
[math]R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] — сходится [math]\}[/math]. Заметим, что возможны случаи [math]R = 0[/math] и [math]R = \infty[/math].


Теорема:
Пусть есть ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] и [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда

1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится.

2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно.

3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится.

4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] по определению точной верхней грани, [math]\exists x_0 : |x| \lt x_0 \lt R[/math], и ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n[/math] сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое.

2) [math]\exists \delta \gt 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)[/math]

[math]\forall x \in [a; b] : |x| \lt \delta[/math]. По пункту 1, [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n \delta^n[/math] — абсолютно сходится, значит, к [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] на [math][a; b][/math] применим признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов, откуда всё следует.

3) Следствие определения радиуса сходимости.

4) Ну неопределённость [math]:)[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Возникает вопрос: "Как найти [math]R[/math]?". В большинстве случаев достаточно следующей теоремы:

Теорема:
Пусть есть [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда:

1) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|[/math], то [math]R = q[/math].

2) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}[/math], то [math]R = \frac1q[/math]

Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: [math]R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}[/math]. Но она сложная и никому не нужна. Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем первый пункт. Второй доказывается аналогично.

Рассмотрим [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x^n|[/math] и применим к нему признак Даламбера.

[math]\frac{|a_{n + 1} x^{n + 1}|}{a_n x^n} = \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| |x| \to q^{-1} |x|[/math]. Тогда, по признаку Даламбера, при [math]q^{-1} |x| \lt 1[/math] ряд сходится, при [math]q^{-1} |x| \gt 1[/math] ряд расходится.

Итого: [math]|x| \lt q[/math] — ряд сходится, [math]|x| \gt q[/math] — ряд расходится.

Сопоставим с определением [math]R[/math] и получим [math]R = q[/math].

Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.

При [math]\sqrt[n]{| a_n x^n |} = \sqrt[n]{|a_n|} |x| \to q |x| [/math]. При [math] q |x| \lt 1[/math] - ряд сходится, значит [math]|x| \lt \frac1q [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Примеры. [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n[/math], [math]a_n = 1[/math], [math]\frac{|a_n|}{|a_{n + 1}| } = 1[/math]

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty n^n x^n[/math], [math]\sqrt[n]{|a_n|} = n \to +\infty[/math], [math]R = \frac1{+\infty} = 0[/math]

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty n^{-n}x^n[/math], [math]\sqrt[n]{|a_n|} = n^{-1} \to 0[/math], [math]R = \frac1{+0} = +\infty[/math]

[math]R[/math] может принимать все значения [math][0; +\infty][/math].


Возникает вопрос. Подставим в [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n[/math] вместо [math]x[/math] - [math] (-x^2) [/math].

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| \lt 1[/math]. Однако, сумма как функция определена для всех [math]x[/math]. Как это объяснить? Ответ: "В [math]\mathbb{R}[/math] это объяснить нельзя. Нужно использовать [math]\mathbb{C}[/math]".

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}[/math]. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.

Произведение степенных рядов

По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если взять два степенных ряда, то на общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:

[math]f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty b_n x^n[/math].

[math]\sum\limits_{k = 0}^n a_k x^k b_{n - k} x^{n - k} = \left(\sum\limits_{k = 0}^n a_k b_{n - k} \right) x^n = c_n x^n[/math]

[math]f(x) g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n x^n[/math]

Вывод: произведение двух степенных рядов по правилу Коши — степенной ряд с суммой, равной произведению сумм исходных рядов.

По теореме о радиусе сходимости, на любом отрезке из [math](-R; R)[/math] степенной ряд сходится равномерно.

Значит, по теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, их можно дифференцировать и интегрировать, и опять будет получаться сходящийся степенной ряд.


Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"

Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".

Утверждение:
Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда
[math]\triangleright[/math]

Если [math]f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], то [math]f'(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty a_nnx^{n - 1}[/math], [math]\int f(x)dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac1{n + 1}a_n x^{n + 1}[/math]

Выясним, что для [math]f(x)[/math] и [math]f'(x)[/math] одинаковые радиусы сходимости.

Продифференцируем ряд и домножим полученный ряд на [math]x[/math].

[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n[/math]

[math]|a_nx^n| \leq |na_nx^n|[/math]. То есть, [math]x[/math], для которого сходится [math]\sum f'[/math], будет сходиться и [math]\sum f[/math].

Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда [math]\subset[/math] промежутку сходимости исходного ряда.

Обратное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
[math]\triangleleft[/math]

<< >>