Суммируемые функции произвольного знака — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(видимо, потому что модуль не суммируем)
(Абсолютная непрерывность: предположительно, упорота)
Строка 47: Строка 47:
 
По определению, <tex> \forall \varepsilon \exists </tex> хорошее <tex> e_{\varepsilon} :  \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} </tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>
 
По определению, <tex> \forall \varepsilon \exists </tex> хорошее <tex> e_{\varepsilon} :  \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} </tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>
  
<tex> \mu e_{\varepsilon} < + \infty </tex> (так как разбиение — хорошее).
+
<tex> \mu e_{\varepsilon} < + \infty </tex> (так как <tex> e_\varepsilon</tex> — хорошее).
  
<tex> |f(x)| \le M_{\varepsilon} </tex> (так как f — ограничена).
+
<tex> |f(x)| \le M_{\varepsilon} </tex> (так как f — ограничена{{TODO|t=че? почему ограничена?}}).
  
 
<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty  </tex>
 
<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty  </tex>
Строка 55: Строка 55:
 
<tex> B = B \cap E = B \cap (\overline{e_{\varepsilon}} \cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 </tex>
 
<tex> B = B \cap E = B \cap (\overline{e_{\varepsilon}} \cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 </tex>
  
<tex> \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le </tex> {{TODO|t=ПШШШШШ}}
+
<tex> \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{e_\varepsilon} f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon</tex>
  
Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty </tex>: <tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, то для таких <tex> B \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.
+
Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty </tex>: <tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, то для таких <tex> B: \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.
 
}}
 
}}

Версия 02:28, 7 января 2012

Пусть f измерима на множестве E.

Напомним:

[math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^- [/math]

Интеграл распространяется так же:

[math] f_+(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \gt 0 \\ 0, & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

[math] f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \gt 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

Из измеримости следует, что [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math] - также измеримы. Также они неотрицательны.

[math] f = f_+ - f_- [/math]

[math] |f| = f_+ + f_- [/math]

[math] \int\limits_E f_+, \int\limits_E f_- [/math] — определены в пределах [math] f. [/math]

[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если на нём суммируемы [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math]

[math] \int\limits_E f =(def) \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- [/math]

Заметим, что по линейности [math] \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- [/math]. Тогда [math] |\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f| [/math]

Так как [math] f_{+-} \le |f| [/math], то их суммируемости модуля вытекает суммируемость [math] f_{+-} [/math].

Как следствие определения, получаем, что [math] f [/math] суммируема тогда и только тогда, когда [math] |f| [/math] суммируема. То есть, в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.

Пример: Интеграл Дирихле: [math] \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 [/math] — по Риману, но по Лебегу она не суммируема.

Так как [math] \int\limits_E [/math] определен линейной формулой, то переносятся [math] \sigma [/math]-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для [math] f_+, f_- [/math] и сложить.

Абсолютная непрерывность

Теорема (Абсолютная непрерывность):
Пусть [math] f [/math] — суммируема на [math] E [/math]. Тогда [math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0: \mu A \lt \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| \lt \varepsilon [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| [/math], то есть достаточно рассмотреть неотрицательные функции.

[math] f [/math] — суммируема и неотрицательна. [math] \int\limits_E f \lt + \infty [/math].

По определению, [math] \forall \varepsilon \exists [/math] хорошее [math] e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} [/math], и по сигма-аддитивности, [math] \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} [/math]

[math] \mu e_{\varepsilon} \lt + \infty [/math] (так как [math] e_\varepsilon[/math] — хорошее).

[math] |f(x)| \le M_{\varepsilon} [/math] (так как f — ограничена TODO: че? почему ограничена?).

[math] \forall B \subset E, \mu B \lt \infty [/math]

[math] B = B \cap E = B \cap (\overline{e_{\varepsilon}} \cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 [/math]

[math] \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{e_\varepsilon} f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon[/math]

Итак [math] \forall B \subset E, \mu B \lt + \infty [/math]: [math] \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon [/math]. Потребуем, чтобы [math] M_{\varepsilon} \mu B \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \mu B \lt \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta [/math]. Тогда получается, то для таких [math] B: \int\limits_B f \lt 2 \varepsilon [/math], если [math] \mu B \lt \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} [/math]. Подставляем [math] \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon [/math].
[math]\triangleleft[/math]