Суммируемые функции произвольного знака — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(теги запилю потом)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 7 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Неотрицательные суммируемые функции|<<]] [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|>>]]
 +
 
Пусть f измерима на множестве E.
 
Пусть f измерима на множестве E.
  
 
Напомним:
 
Напомним:
  
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^-
+
<tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^- </tex>
  
 
Интеграл распространяется так же:
 
Интеграл распространяется так же:
Строка 9: Строка 11:
 
<tex> f_+(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) > 0 \\ 0, & f(x) \le 0 \end{cases} </tex>
 
<tex> f_+(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) > 0 \\ 0, & f(x) \le 0 \end{cases} </tex>
  
<tex> f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \ge 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} </tex>
+
<tex> f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) > 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} </tex>
 
 
Из измеримости следует, что f_+ и f_- также измеримы. Также они неотрицательны.
 
 
 
f = f_+ - f_-
 
|f| = f_+ + f_-
 
 
 
\int\limits_E f_+, \iny\limits_E f_- — определены в пределах f.
 
  
f суммируема на E, если на нём суммируемы f_+ и f_-
+
Из измеримости <tex> f </tex> следует, что <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex> тоже будут измеримы. Также, они неотрицательны.
  
\int\limits_E f =(def) \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_-
+
<tex> f = f_+ - f_- </tex>
  
Линейность: <tex> \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_-
+
<tex> |f| = f_+ + f_- </tex>
|\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f|
 
  
f_{+-} \le |f|. f_{+-} — суммируема, так как суммируем модуль.
+
<tex> \int\limits_E f_+, \int\limits_E f_- </tex> уже были определены нами ранее.
  
Получаем: если f суммируема, то |f| — суммируема, то есть в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если на нём суммируемы <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex>.
 +
В этом случае, <tex> \int\limits_E f \underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- </tex>.
 +
}}
  
Пример:
+
Заметим, что, по линейности <tex> \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- </tex>. Тогда <tex> |\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f| </tex>
Интеграл Дирихле: \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 — по Риману, но по Лебегу она не суммируема.
 
  
Так как \int\limits_E определен линейной формулой, то переносятся \sigma-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для f_+, f_- и сложить.  
+
Так как <tex> f_{+-} \le |f| </tex>, то из суммируемости модуля вытекает суммируемость <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex>.
  
Абсолютная непрерывность:
+
Как следствие определения, получаем, что <tex> f </tex> суммируема тогда и только тогда, когда <tex> |f| </tex> суммируема. То есть, в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.
Теорема — пусть f суммируема на E. Тогда \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| < \varepsilon
 
  
Док-во: \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| \Rightarrow
+
Пример: интеграл Дирихле равен <tex> \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 </tex> по Риману, но по Лебегу он не суммируем.
  
Достаточно рассмотреть неотрицательные функции.
+
Так как <tex> \int\limits_E </tex> определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также <tex> \sigma </tex>-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для <tex> f_+, f_- </tex> и сложить.  
  
f — суммируема и неотрицательна. \int\limits_E f < + \infty.
+
== Абсолютная непрерывность ==
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
Абсолютная непрерывность
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> f </tex> — суммируема на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| < \varepsilon </tex>
 +
|proof=
 +
<tex> \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| </tex>, то есть, достаточно рассмотреть неотрицательные функции.
  
\forall \varepsilon \exists хорошее e_{\varepsilon} :  \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon
+
<tex> f </tex> — суммируема и неотрицательна. <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>.
  
\overline{e_{\varepsilon}} = E \ {e_{\varepsilon}}
+
По определению, для любого <tex> \varepsilon </tex> существует хорошее <tex> e_{\varepsilon} :  \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} </tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>.
  
\int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}}
+
<tex> \mu e_{\varepsilon} < + \infty </tex> (так как <tex> e_\varepsilon</tex> — хорошее).
  
\mu e_{\varepsilon} < + \infty, |f(x)| \le M_{\varepsilon}
+
<tex> |f(x)| \le M_{\varepsilon} </tex> (так как f ограничена).
  
\forall B \subset E, \mu B < \infty  
+
<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty </tex>;
  
B = B \cap E = B \ cap (\overline{e_{\varepsilon}} \ cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2
+
<tex> B = B \cap E = B \cap ({e_{\varepsilon}} \cup \overline e_{\varepsilon}) = (B \cap {e_{\varepsilon}}) \cup (B \cap \overline e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 </tex>.
  
\int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le {{TODO|t=ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ В КОНСПЕКТАХ}}
+
<tex> \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{\overline e_\varepsilon} f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon</tex>
  
Итак \forall B \subset E, \mu B < + \infty:
+
Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty </tex>: <tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, что для таких <tex> B: \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.
 +
}}
  
\int\limits_B \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon. Потребуем, чтобы M_{\varepsilon} \mu B \le \varepsilon. Тогда \mu B \le \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta. Тогда получается, то для таких B \int\limits_B f \le 2 \varepsilon, если \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}}. Подставляем \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon.
+
[[Неотрицательные суммируемые функции|<<]] [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022

<< >>

Пусть f измерима на множестве E.

Напомним:

[math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^- [/math]

Интеграл распространяется так же:

[math] f_+(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \gt 0 \\ 0, & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

[math] f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \gt 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

Из измеримости [math] f [/math] следует, что [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math] тоже будут измеримы. Также, они неотрицательны.

[math] f = f_+ - f_- [/math]

[math] |f| = f_+ + f_- [/math]

[math] \int\limits_E f_+, \int\limits_E f_- [/math] уже были определены нами ранее.


Определение:
[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если на нём суммируемы [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math]. В этом случае, [math] \int\limits_E f \underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- [/math].


Заметим, что, по линейности [math] \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- [/math]. Тогда [math] |\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f| [/math]

Так как [math] f_{+-} \le |f| [/math], то из суммируемости модуля вытекает суммируемость [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math].

Как следствие определения, получаем, что [math] f [/math] суммируема тогда и только тогда, когда [math] |f| [/math] суммируема. То есть, в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.

Пример: интеграл Дирихле равен [math] \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 [/math] по Риману, но по Лебегу он не суммируем.

Так как [math] \int\limits_E [/math] определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также [math] \sigma [/math]-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для [math] f_+, f_- [/math] и сложить.

Абсолютная непрерывность

Теорема (Абсолютная непрерывность):
Пусть [math] f [/math] — суммируема на [math] E [/math]. Тогда [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0: \mu A \lt \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| \lt \varepsilon [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| [/math], то есть, достаточно рассмотреть неотрицательные функции.

[math] f [/math] — суммируема и неотрицательна. [math] \int\limits_E f \lt + \infty [/math].

По определению, для любого [math] \varepsilon [/math] существует хорошее [math] e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} [/math], и по сигма-аддитивности, [math] \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} [/math].

[math] \mu e_{\varepsilon} \lt + \infty [/math] (так как [math] e_\varepsilon[/math] — хорошее).

[math] |f(x)| \le M_{\varepsilon} [/math] (так как f ограничена).

[math] \forall B \subset E, \mu B \lt \infty [/math];

[math] B = B \cap E = B \cap ({e_{\varepsilon}} \cup \overline e_{\varepsilon}) = (B \cap {e_{\varepsilon}}) \cup (B \cap \overline e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 [/math].

[math] \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{\overline e_\varepsilon} f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon[/math]

Итак [math] \forall B \subset E, \mu B \lt + \infty [/math]: [math] \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon [/math]. Потребуем, чтобы [math] M_{\varepsilon} \mu B \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \mu B \lt \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta [/math]. Тогда получается, что для таких [math] B: \int\limits_B f \lt 2 \varepsilon [/math], если [math] \mu B \lt \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} [/math]. Подставляем [math] \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon [/math].
[math]\triangleleft[/math]

<< >>