Суффиксный массив — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Основные положения)
(Псевдокод: записываем в строку s по индексу sa[i], а не по i)
 
(не показаны 42 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Cуффиксным массивом''' (англ. ''suffix array'') строки <tex>s[1 .. n]</tex> называется массив <tex>suf</tex> целых чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, такой, что суффикс <tex>s[suf[i]..n]</tex> — <tex>i</tex>-й в лексикографическом порядке среди всех непустых суффиксов строки <tex>s</tex>.}}
+
'''Cуффиксным массивом''' (англ. ''suffix array'') строки <tex>s[1 .. n]</tex> называется массив <tex>suf</tex> целых чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, такой, что суффикс <tex>s[suf[i]..n]</tex> — <tex>i</tex>-й в [[Лексикографический_порядок|лексикографическом]] порядке среди всех непустых суффиксов строки <tex>s</tex>.}}
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==
Строка 41: Строка 41:
 
         tmp[sa[i]] = alphabet[i]
 
         tmp[sa[i]] = alphabet[i]
 
   cur = 1
 
   cur = 1
   s[1] = alphabet[1]
+
   s[sa[1]] = alphabet[1]
 
   '''for''' i = 2 '''to''' n
 
   '''for''' i = 2 '''to''' n
 
         j = sa[i - 1]
 
         j = sa[i - 1]
Строка 47: Строка 47:
 
         '''if''' tmp[j + 1] > tmp[k + 1]  
 
         '''if''' tmp[j + 1] > tmp[k + 1]  
 
             cur++
 
             cur++
         s[i] = alphabet[cur]       
+
         s[sa[i]] = alphabet[cur]       
 
   '''return''' s
 
   '''return''' s
  
Строка 54: Строка 54:
  
 
== Применения ==
 
== Применения ==
 
Здесь и далее <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
 
  
 
=== Поиск подстроки в строке ===
 
=== Поиск подстроки в строке ===
Строка 61: Строка 59:
 
{{main|Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива}}
 
{{main|Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива}}
  
=== Подсчет LCP для лексикографически соседних суффиксов ===
+
=== Подсчёт LCP для лексикографически соседних суффиксов ===
  
 
{{main|Алгоритм Касаи и др.}}
 
{{main|Алгоритм Касаи и др.}}
Строка 67: Строка 65:
 
=== Число различных подстрок в строке ===
 
=== Число различных подстрок в строке ===
  
Вычисление числа различных подстрок в строке за время <tex>O(|s| \log(|s|))</tex> и <tex>O(|s|)</tex> дополнительной памяти с использованием [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]]<ref name="ref1">[http://e-maxx.ru/algo/suffix_array#8 Количество различных подстрок]</ref>.
+
Вычисление числа различных подстрок в строке за время <tex>O(|s| \log(|s|))</tex> и <tex>O(|s|)</tex> дополнительной памяти с использованием [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]]<ref name="ref1">[http://e-maxx.ru/algo/suffix_array#8 MAXimal :: algo :: Суффиксный массив :: Количество различных подстрок]</ref>.
  
 
=== Максимальная по длине ветвящаяся влево и вправо строка ===
 
=== Максимальная по длине ветвящаяся влево и вправо строка ===
Строка 77: Строка 75:
 
{{Задача
 
{{Задача
 
|definition=
 
|definition=
Поиск самой длинной строки <tex>p</tex>, входящей в строку <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь за <tex>\mathrm{SA} + O(n).</tex>}}
+
Поиск самой длинной строки <tex>p</tex>, входящей в строку <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь.}}
 
 
 
==== Основные положения ====
 
==== Основные положения ====
 
Построим суффиксный массив строки <tex>t</tex> и посчитаем на нем [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]].
 
Построим суффиксный массив строки <tex>t</tex> и посчитаем на нем [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]].
Рассмотрим какие-нибудь суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> строки <tex>t</tex>. Обозначим их позиции в суффиксном массиве за <tex>i'</tex> и <tex>j'</tex>, причем <tex>i' \leq j'</tex>.
+
Для суффикса <tex>s</tex> символом <tex>s'</tex> будем обозначать индекс этого суффикса в суффиксном массиве.
 +
 
 +
Рассмотрим какие-нибудь суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> строки <tex>t</tex> такие, что <tex>i' \leqslant j'</tex>.
 
Будем говорить, что строка <tex>s</tex> соответствует каким-нибудь суффиксам <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, если она равна максимальному префиксу этих суффиксов.
 
Будем говорить, что строка <tex>s</tex> соответствует каким-нибудь суффиксам <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, если она равна максимальному префиксу этих суффиксов.
 
Будем говорить, что суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствуют строке <tex>s</tex>, если <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, а суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствуют позициям этих вхождений.
 
Будем говорить, что суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствуют строке <tex>s</tex>, если <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, а суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствуют позициям этих вхождений.
  
Введем два условия:
+
Для произвольной строки <tex>s</tex> и двух суффиксов, соответствующих ей, введем два условия:
# <tex>\max(len(i'), len(j')) \geq \min(len(i'), len(j')) + |s|</tex>
+
# <tex>\max(|i|, |j|) \geqslant \min(|i|, |j|) + |s|</tex>
# <tex>|s| = \min_{k={i'}\dots{j'}}(lcp_k)</tex>
+
# <tex>|s| = \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k]</tex>
 
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|author=
 
 
|statement=
 
|statement=
Если для каких-нибудь суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствующая им строка <tex>s</tex> удовлетворяет условиям 1 и 2, то она входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь.
+
Строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию 1.
 
|proof=  
 
|proof=  
proof
+
'''Необходимое условие:'''
 +
 
 +
Если строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, то один из суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. Т.е. условие 1 выполнено.
 +
 
 +
'''Достаточное условие:'''
 +
 
 +
Из того, что выполняется условие 1 следует, что один из суффиксов хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. При этом они оба начинаются со строки <tex>s</tex>. Поэтому строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь.
 
}}
 
}}
 +
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|author=
 
 
|statement=
 
|statement=
Если строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, то соответствующие ей суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> удовлетворяют условиям 1 и 2.
+
Если строка <tex>s</tex> является максимальной входящей в <tex>t</tex> дважды, то она удовлетворяет условию 2.
|proof=
+
|proof=
proof
+
Пусть это не так и <tex>|s| < \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k]</tex> (больше она быть не может). Тогда получим, что <tex>|s|</tex> меньше, чем длина наибольшего общего префикса суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, чего быть не может по построению <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.
 
}}
 
}}
 
 
Т.о. строка входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям 1 и 2.
 
  
 
==== Наивный алгоритм ====
 
==== Наивный алгоритм ====
Строка 113: Строка 113:
 
# Переберем все пары <tex>i</tex> и <tex>j</tex> такие, что они удовлетворяют условиям 1 и 2 и возьмем среди них максимум по длине строки.
 
# Переберем все пары <tex>i</tex> и <tex>j</tex> такие, что они удовлетворяют условиям 1 и 2 и возьмем среди них максимум по длине строки.
  
Этот алгоритм можно реализовать за <tex>O(n^3)</tex> или, если немного подумать, то и за <tex>O(n^2)</tex>. Однако, он не позволяет достигнуть нужной нам асимптотики.
+
Этот алгоритм можно реализовать за <tex>O(n^3 + \mathrm{SA})</tex> или за <tex>O(n^2 + \mathrm{SA})</tex>, где <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
  
 
==== Оптимальное решение ====
 
==== Оптимальное решение ====
 
===== Идея =====
 
===== Идея =====
Чтобы достигнуть асимптотики <tex>O(n)</tex>, будем перебирать всевозможные подстроки <tex>s</tex> строки <tex>t</tex>, такие, что они входят в <tex>t</tex> дважды и удовлетворяют условию 2 при любых <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> - суффиксы, соответствующие двум любым вхождениям s в t (т.е. не обязательно непересекающимся). Для каждой такой строки <tex>s</tex> попробуем найти <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1. Таким образом, мы рассмотрим все строки, соответствующие условиям 1 и 2, и, следовательно, найдем ответ. Алгоритм корректный.
+
Будем перебирать всевозможные подстроки <tex>s</tex> строки <tex>t</tex> такие, что они входят в <tex>t</tex> дважды и удовлетворяют условию 2 при любых <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> {{---}} суффиксы, соответствующие двум любым вхождениям <tex>s</tex> в <tex>t</tex> (т.е. не обязательно непересекающимся). Для каждой такой строки <tex>s</tex> попробуем найти <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1.  
Заметим теперь, что искомые строки <tex>s</tex> {{---}} это префиксы суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp_k</tex>.  
+
Таким образом, мы рассмотрим все строки, соответствующие условиям 1 и 2, и, следовательно, найдем ответ. Алгоритм корректный.
Для того, чтобы найти для каждой такой строки <tex>s</tex> суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1, воспользуемся стеком
+
 
 +
Заметим теперь, что искомые строки <tex>s</tex> {{---}} это префиксы суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp[k]</tex>.  
 +
Для того, чтобы найти для каждой такой строки <tex>s</tex> суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1, воспользуемся [[Стек|стеком]].
  
 
===== Алгоритм =====
 
===== Алгоритм =====
# Будем идти по суффиксному массиву в порядке лексикографической сортировки суффиксов. В стеке будем хранить префиксы уже рассмотренных суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp_k</tex> (т.е. строки <tex>s</tex>) в порядке увеличения длины. Для каждой строки из стека также будем хранить минимальный по длине суффикс <tex>i</tex> и максимальный по длине <tex>j</tex>. Обозначим за <tex>st</tex> вершину стека, а за <tex>s</tex> {{---}} текущий рассматриваемый суффикс.
+
# Будем идти по суффиксному массиву в порядке лексикографической сортировки суффиксов. В стеке будем хранить префиксы уже рассмотренных суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp[k']</tex> (т.е. строки <tex>s</tex>) в порядке увеличения длины. Для каждой строки из стека также будем хранить минимальный по длине суффикс <tex>i</tex> и максимальный по длине <tex>j</tex>. Обозначим за <tex>st</tex> вершину стека, а за <tex>s</tex> {{---}} текущий рассматриваемый суффикс.
 
# Возможны три случая:
 
# Возможны три случая:
## <tex>lcp_{st} = lcp_s</tex>. Тогда просто обновляем <tex>i</tex> и <tex>j</tex> для вершины стека: '''if''' (<tex>len_i > len_s</tex>) '''then''' <tex>i = s</tex>;
+
#* <tex>|st| = lcp[s']</tex><br>Тогда просто обновляем <tex>i</tex> и <tex>j</tex> для вершины стека.
## <tex>lcp_{st} \geq lcp_s</tex>. Тогда добавляем новую вершину в стек и обновляем для нее <tex>i</tex> и <tex>j</tex>: <tex>i = j = s;</tex>
+
#* <tex>|st| \geqslant lcp[s']</tex><br>В этом случае добавляем новую вершину в стек и обновляем для неё <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.
## <tex>lcp_{st} \leq lcp_s</tex>. Достаем вершину из стека и "пробрасываем" значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex> из нее в новую вершину стека. Это нужно для того, чтобы не потерять значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, которые были посчитаны для строк большей длины, но так же актуальны для строк меньшей длины.
+
#* <tex>|st| \leqslant lcp[s']</tex><br>Достаем вершину из стека и ''пробрасываем'' значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex> из неё в новую вершину стека. Это нужно для того, чтобы не потерять значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, которые были посчитаны для строк большей длины, но так же актуальны для строк меньшей длины.
# Если в какой-то момент <tex>i</tex> и <tex>j</tex> станут удовлетворять условию 1, обновляем ответ: '''if''' (<tex>len_s > len_{ans}</tex>) '''then''' <tex>s = ans</tex>;
+
# Если в какой-то момент <tex>i</tex> и <tex>j</tex> станут удовлетворять условию 1, обновляем ответ.
  
 
===== Оценка времени работы =====
 
===== Оценка времени работы =====
Т.к. для каждого суффикса мы выполняем <tex>O(1)</tex> операций, то итоговое время работы <tex>O(n)</tex>
+
Т.к. подсчёт <tex>lcp</tex> выполняется за <tex>O(n)</tex>, и для каждого суффикса мы выполняем <tex>O(1)</tex> операций, то итоговое время работы <tex>O(n + \mathrm{SA})</tex>, где <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
  
 
==См. также==
 
==См. также==
Строка 136: Строка 138:
 
* [[Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива]]
 
* [[Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива]]
 
* [[Алгоритм Касаи и др.]]
 
* [[Алгоритм Касаи и др.]]
 +
 +
==Примечания==
 +
<references/>
  
 
== Источники ==
 
== Источники ==

Текущая версия на 12:36, 1 апреля 2019

Определение:
Cуффиксным массивом (англ. suffix array) строки [math]s[1 .. n][/math] называется массив [math]suf[/math] целых чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math], такой, что суффикс [math]s[suf[i]..n][/math][math]i[/math]-й в лексикографическом порядке среди всех непустых суффиксов строки [math]s[/math].


Пример[править]

[math]s = abacaba[/math]

SuffixArray.png

Значит, суффиксный массив для строки [math]s[/math] равен [math][7, 5, 1, 3, 6, 2, 4][/math].

Восстановление строки по суффиксному массиву[править]

Задача:
Дан суффиксный массив некоторой строки [math]s[/math], необходимо восстановить строку за время [math]O(|s|)[/math].


Вариант для бесконечного алфавита[править]

Так как наш алфавит не ограничен, можно [math]i[/math]-й в лексикографическом порядке суффикс сопоставить с [math]i[/math]-й буквой в алфавите.

Доказательство корректности[править]

Если отсортировать суффиксы, то первые буквы будут расположены в том же порядке, как и в алфавите.

Псевдокод[править]

string fromSuffixArrayToString(int[] sa):
  for i = 1 to n
       s[sa[i]] = alphabet[i] 
  return s

Вариант для минимально возможного[править]

Для начала вместо каждого символа строки поставим символ из бесконечного алфавита в промежуточную строку [math]tmp[/math], как в решении выше. Пусть, мы рассматриваем [math]i[/math]-й в лексикографическом порядке суффикс (т.е. и [math]i[/math]-й символ строки). Его первый символ будет равен первому символу предущего в лексикографическом порядке суффикса, если [math]tmp[sa[i - 1] + 1] \lt tmp[sa[i] + 1][/math], т.е. и их строки без первого символа так же в лексикографическом порядке. Иначе он должен быть больше, т.к. рассматриваемый суффикс следующий в лексикографическом порядке.

Пример[править]

Дан суффиксный массив [math][7, 5, 1, 3, 6, 2, 4][/math]. Цветами показаны места, после которых добавляются новые символы.

ExampleSuffixArray.png

Псевдокод[править]

string fromSuffixArrayToString(int[] sa):
  for i = 1 to n
       tmp[sa[i]] = alphabet[i]
  cur = 1
  s[sa[1]] = alphabet[1]
  for i = 2 to n
       j = sa[i - 1]
       k = sa[i]
       if tmp[j + 1] > tmp[k + 1] 
           cur++
       s[sa[i]] = alphabet[cur]       
  return s

Доказательство минимальности[править]

Докажем от противного. Пусть, есть решение в котором использовано меньше букв. Тогда найдется позиция в которой, наше решение отличается от минимального, причем в минимальном остается та же буква, как в предыдущем суффиксе, а в нашем появляется новая. Рассмотрим эти два подряд идущих суффикса. В решении выше добавится новая буква, только если продолжение первого суффикса лексикографически больше, чем продолжение второго. Получается, что в минимальном решении первый суффикс лексикографически больше, чем второй, что неверно. Пришли к противоречию.

Применения[править]

Поиск подстроки в строке[править]

Подсчёт LCP для лексикографически соседних суффиксов[править]

Основная статья: Алгоритм Касаи и др.

Число различных подстрок в строке[править]

Вычисление числа различных подстрок в строке за время [math]O(|s| \log(|s|))[/math] и [math]O(|s|)[/math] дополнительной памяти с использованием LCP[1].

Максимальная по длине ветвящаяся влево и вправо строка[править]

Данная задача также может быть решена при помощи суффиксного дерева.

Самая длинная строка p, входящая в t дважды и не пересекаясь[править]

Задача:
Поиск самой длинной строки [math]p[/math], входящей в строку [math]t[/math] дважды и не пересекаясь.

Основные положения[править]

Построим суффиксный массив строки [math]t[/math] и посчитаем на нем LCP. Для суффикса [math]s[/math] символом [math]s'[/math] будем обозначать индекс этого суффикса в суффиксном массиве.

Рассмотрим какие-нибудь суффиксы [math]i[/math] и [math]j[/math] строки [math]t[/math] такие, что [math]i' \leqslant j'[/math]. Будем говорить, что строка [math]s[/math] соответствует каким-нибудь суффиксам [math]i[/math] и [math]j[/math], если она равна максимальному префиксу этих суффиксов. Будем говорить, что суффиксы [math]i[/math] и [math]j[/math] соответствуют строке [math]s[/math], если [math]s[/math] входит в [math]t[/math] дважды и не пересекаясь, а суффиксы [math]i[/math] и [math]j[/math] соответствуют позициям этих вхождений.

Для произвольной строки [math]s[/math] и двух суффиксов, соответствующих ей, введем два условия:

  1. [math]\max(|i|, |j|) \geqslant \min(|i|, |j|) + |s|[/math]
  2. [math]|s| = \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k][/math]
Утверждение:
Строка [math]s[/math] входит в [math]t[/math] дважды и не пересекаясь тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию 1.
[math]\triangleright[/math]

Необходимое условие:

Если строка [math]s[/math] входит в [math]t[/math] дважды и не пересекаясь, то один из суффиксов [math]i[/math] и [math]j[/math] хотя бы на [math]|s|[/math] длиннее другого. Т.е. условие 1 выполнено.

Достаточное условие:

Из того, что выполняется условие 1 следует, что один из суффиксов хотя бы на [math]|s|[/math] длиннее другого. При этом они оба начинаются со строки [math]s[/math]. Поэтому строка [math]s[/math] входит в [math]t[/math] дважды и не пересекаясь.
[math]\triangleleft[/math]


Утверждение:
Если строка [math]s[/math] является максимальной входящей в [math]t[/math] дважды, то она удовлетворяет условию 2.
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так и [math]|s| \lt \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k][/math] (больше она быть не может). Тогда получим, что [math]|s|[/math] меньше, чем длина наибольшего общего префикса суффиксов [math]i[/math] и [math]j[/math], чего быть не может по построению [math]i[/math] и [math]j[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Наивный алгоритм[править]

  1. Построим суффиксный массив, посчитаем на нём LCP.
  2. Переберем все пары [math]i[/math] и [math]j[/math] такие, что они удовлетворяют условиям 1 и 2 и возьмем среди них максимум по длине строки.

Этот алгоритм можно реализовать за [math]O(n^3 + \mathrm{SA})[/math] или за [math]O(n^2 + \mathrm{SA})[/math], где [math]\mathrm{SA}[/math] — время построения суффиксного массива.

Оптимальное решение[править]

Идея[править]

Будем перебирать всевозможные подстроки [math]s[/math] строки [math]t[/math] такие, что они входят в [math]t[/math] дважды и удовлетворяют условию 2 при любых [math]i[/math] и [math]j[/math], где [math]i[/math] и [math]j[/math] — суффиксы, соответствующие двум любым вхождениям [math]s[/math] в [math]t[/math] (т.е. не обязательно непересекающимся). Для каждой такой строки [math]s[/math] попробуем найти [math]i[/math] и [math]j[/math], удовлетворяющие условию 1. Таким образом, мы рассмотрим все строки, соответствующие условиям 1 и 2, и, следовательно, найдем ответ. Алгоритм корректный.

Заметим теперь, что искомые строки [math]s[/math] — это префиксы суффиксов [math]k[/math] длины [math]lcp[k][/math]. Для того, чтобы найти для каждой такой строки [math]s[/math] суффиксы [math]i[/math] и [math]j[/math], удовлетворяющие условию 1, воспользуемся стеком.

Алгоритм[править]
  1. Будем идти по суффиксному массиву в порядке лексикографической сортировки суффиксов. В стеке будем хранить префиксы уже рассмотренных суффиксов [math]k[/math] длины [math]lcp[k'][/math] (т.е. строки [math]s[/math]) в порядке увеличения длины. Для каждой строки из стека также будем хранить минимальный по длине суффикс [math]i[/math] и максимальный по длине [math]j[/math]. Обозначим за [math]st[/math] вершину стека, а за [math]s[/math] — текущий рассматриваемый суффикс.
  2. Возможны три случая:
    • [math]|st| = lcp[s'][/math]
      Тогда просто обновляем [math]i[/math] и [math]j[/math] для вершины стека.
    • [math]|st| \geqslant lcp[s'][/math]
      В этом случае добавляем новую вершину в стек и обновляем для неё [math]i[/math] и [math]j[/math].
    • [math]|st| \leqslant lcp[s'][/math]
      Достаем вершину из стека и пробрасываем значения [math]i[/math] и [math]j[/math] из неё в новую вершину стека. Это нужно для того, чтобы не потерять значения [math]i[/math] и [math]j[/math], которые были посчитаны для строк большей длины, но так же актуальны для строк меньшей длины.
  3. Если в какой-то момент [math]i[/math] и [math]j[/math] станут удовлетворять условию 1, обновляем ответ.
Оценка времени работы[править]

Т.к. подсчёт [math]lcp[/math] выполняется за [math]O(n)[/math], и для каждого суффикса мы выполняем [math]O(1)[/math] операций, то итоговое время работы [math]O(n + \mathrm{SA})[/math], где [math]\mathrm{SA}[/math] — время построения суффиксного массива.

См. также[править]

Примечания[править]

Источники[править]