Существенно неоднозначные языки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример:)
(Существенно неоднозначные языки)
Строка 17: Строка 17:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Язык называется '''существенно неоднозначным''', если он может быть порождён только неоднозначными грамматиками.
+
Язык называется '''существенно неоднозначным''', если любая грамматика, порождающая его - неоднозначна.
 
}}
 
}}
 
===Пример:===
 
===Пример:===
Строка 23: Строка 23:
 
Язык <tex>0^a 1^b 2^c</tex>, где либо <tex>a=b</tex>, либо <tex>b=c</tex>, является существенно неоднозначным.
 
Язык <tex>0^a 1^b 2^c</tex>, где либо <tex>a=b</tex>, либо <tex>b=c</tex>, является существенно неоднозначным.
  
Докажем, что для любой грамматики <tex>\Gamma</tex>  <tex>\exists k: 0^k 1^k 2^k</tex> имеет хотя бы 2 дерева разбора в грамматике  <tex>\Gamma</tex>.
+
Докажем, что для любой грамматики <tex>\Gamma</tex>  <tex>\exists n: 0^n 1^n 2^n</tex> имеет хотя бы 2 дерева разбора в грамматике  <tex>\Gamma</tex>.
  
 
Возьмем <tex>k</tex> и рассмотрим слово <tex>0^k 1^k 2^{k+k!}</tex>.
 
Возьмем <tex>k</tex> и рассмотрим слово <tex>0^k 1^k 2^{k+k!}</tex>.
Строка 31: Строка 31:
 
Понятно, что <tex>v</tex> состоит полностью из нулей, а <tex>y</tex> состоит полностью из единиц, а также длины <tex>v</tex> и <tex>y</tex> равны, так как иначе при накачке мы можем получить слово, не принадлежащее языку.
 
Понятно, что <tex>v</tex> состоит полностью из нулей, а <tex>y</tex> состоит полностью из единиц, а также длины <tex>v</tex> и <tex>y</tex> равны, так как иначе при накачке мы можем получить слово, не принадлежащее языку.
  
Пусть <tex>|v|=|y|=t</tex>, тогда возьмём слово <tex>q=uv^{\frac{n!}{t} + 1}xy^{\frac{n!}{t} + 1}z</tex>. По лемме Огдена слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>A</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>.
+
Пусть <tex>|v|=|y|=t</tex>, тогда возьмём слово <tex>q=uv^{k! / t + 1}xy^{k! / t + 1}z</tex>. По лемме Огдена слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>A</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>.
  
 
[[Файл:TreeA.png]]
 
[[Файл:TreeA.png]]
  
Теперь рассмотрим слово <tex>0^{k+k!} 1^k 2^k</tex>, в котором отмечены все двойки. Аналогичными рассуждениями мы получаем, что слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>B</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>.
+
Теперь рассмотрим слово <tex>0^{k+k!} 1^k 2^k</tex>, в котором отмечены все двойки. Аналогичными рассуждениями мы получаем, что слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>B</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>, где <tex>|v|=|y|=p</tex>.
  
 
[[Файл:TreeB.png]]
 
[[Файл:TreeB.png]]

Версия 06:19, 21 января 2012

Неоднозначные грамматики

Определение:
Неоднозначной грамматикой называется грамматика, в которой можно вывести некоторое слово более чем одним способом (то есть для строки есть более одного дерева разбора).

Пример:

Рассмотрим грамматику [math]E \rightarrow E + E | E * E | N[/math] и выводимое слово [math]N + N * N[/math]. Его можно вывести двумя способами:

[math]E \Rightarrow E + E \Rightarrow E + E * E \Rightarrow N + N * N[/math]

[math]E \Rightarrow E * E \Rightarrow E + E * E \Rightarrow N + N * N[/math]

Эта грамматика неоднозначна.

Существенно неоднозначные языки

Определение:
Язык называется существенно неоднозначным, если любая грамматика, порождающая его - неоднозначна.

Пример:

Язык [math]0^a 1^b 2^c[/math], где либо [math]a=b[/math], либо [math]b=c[/math], является существенно неоднозначным.

Докажем, что для любой грамматики [math]\Gamma[/math] [math]\exists n: 0^n 1^n 2^n[/math] имеет хотя бы 2 дерева разбора в грамматике [math]\Gamma[/math].

Возьмем [math]k[/math] и рассмотрим слово [math]0^k 1^k 2^{k+k!}[/math].

Пометим первые [math]k[/math] нулей, по лемме Огдена данное слово можно разбить на 5 частей: [math]0^k1^k2^{k+k!}=uvxyz[/math].

Понятно, что [math]v[/math] состоит полностью из нулей, а [math]y[/math] состоит полностью из единиц, а также длины [math]v[/math] и [math]y[/math] равны, так как иначе при накачке мы можем получить слово, не принадлежащее языку.

Пусть [math]|v|=|y|=t[/math], тогда возьмём слово [math]q=uv^{k! / t + 1}xy^{k! / t + 1}z[/math]. По лемме Огдена слово [math]q[/math] принадлежит языку, а также существует нетерминал [math]A[/math] такой, что с помощью него можно породить слово [math]q[/math].

TreeA.png

Теперь рассмотрим слово [math]0^{k+k!} 1^k 2^k[/math], в котором отмечены все двойки. Аналогичными рассуждениями мы получаем, что слово [math]q[/math] принадлежит языку, а также существует нетерминал [math]B[/math] такой, что с помощью него можно породить слово [math]q[/math], где [math]|v|=|y|=p[/math].

TreeB.png

Очевидно, что поддеревья, соответствующие [math]A[/math] и [math]B[/math] — разные деревья и одно не является потомком другого.


Пусть в этих двух случай дерево разбора было одно и тоже, то это дерево порождает слово вида [math]0^{k+k!+t} 1^{k+k!+t+p} 2^{k+k!+p}[/math], которое не принадлежит языку.

В результате мы имеем 2 дерева разбора для одного слова. Значит, язык существенно не однозначен.