Существенно неоднозначные языки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Существенно неоднозначные языки)
(Существенно неоднозначные языки)
Строка 31: Строка 31:
 
Понятно, что <tex>v</tex> состоит полностью из нулей, а <tex>y</tex> состоит полностью из единиц, а также длины <tex>v</tex> и <tex>y</tex> равны, так как иначе при накачке мы можем получить слово, не принадлежащее языку.
 
Понятно, что <tex>v</tex> состоит полностью из нулей, а <tex>y</tex> состоит полностью из единиц, а также длины <tex>v</tex> и <tex>y</tex> равны, так как иначе при накачке мы можем получить слово, не принадлежащее языку.
  
Пусть <tex>|v|=|y|=t</tex>, тогда возьмём слово <tex>q=uv^{k! / t + 1}xy^{k! / t + 1}z</tex>. По лемме Огдена слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>A</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>. (Заметим, что <tex>q = 0^{k! + k}1^{k! + k}2^{k! + k}</tex>, то есть <tex>n = k! + k</tex>.)
+
Пусть <tex>|v|=|y|=t</tex>, тогда возьмём слово <tex>q=uv^{k! / t + 1}xy^{k! / t + 1}z</tex>. По лемме Огдена слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>A</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>, то есть в грамматике можно вывести <tex>uAz</tex>, из <tex>A</tex> можно вывести <tex>vAy</tex> и <tex>x</tex>. (Заметим, что <tex>q = 0^{k! + k}1^{k! + k}2^{k! + k}</tex>, то есть <tex>n = k! + k</tex>.)
  
 
[[Файл:TreeA.png]]
 
[[Файл:TreeA.png]]

Версия 06:41, 21 января 2012

Неоднозначные грамматики

Определение:
Неоднозначной грамматикой называется грамматика, в которой можно вывести некоторое слово более чем одним способом (то есть для строки есть более одного дерева разбора).

Пример:

Рассмотрим грамматику [math]E \rightarrow E + E | E * E | N[/math] и выводимое слово [math]N + N * N[/math]. Его можно вывести двумя способами:

[math]E \Rightarrow E + E \Rightarrow E + E * E \Rightarrow N + N * N[/math]

[math]E \Rightarrow E * E \Rightarrow E + E * E \Rightarrow N + N * N[/math]

Эта грамматика неоднозначна.

Существенно неоднозначные языки

Определение:
Язык называется существенно неоднозначным, если любая грамматика, порождающая его, является неоднозначной.

Пример:

Язык [math]0^a 1^b 2^c[/math], где либо [math]a=b[/math], либо [math]b=c[/math], является существенно неоднозначным.

Докажем, что для любой грамматики [math]\Gamma[/math] [math]\exists n: 0^n 1^n 2^n[/math] имеет хотя бы 2 дерева разбора в грамматике [math]\Gamma[/math].

Возьмем [math]k[/math] и рассмотрим слово [math]0^k 1^k 2^{k+k!}[/math].

Пометим первые [math]k[/math] нулей, по лемме Огдена данное слово можно разбить на 5 частей: [math]0^k1^k2^{k+k!}=uvxyz[/math].

Понятно, что [math]v[/math] состоит полностью из нулей, а [math]y[/math] состоит полностью из единиц, а также длины [math]v[/math] и [math]y[/math] равны, так как иначе при накачке мы можем получить слово, не принадлежащее языку.

Пусть [math]|v|=|y|=t[/math], тогда возьмём слово [math]q=uv^{k! / t + 1}xy^{k! / t + 1}z[/math]. По лемме Огдена слово [math]q[/math] принадлежит языку, а также существует нетерминал [math]A[/math] такой, что с помощью него можно породить слово [math]q[/math], то есть в грамматике можно вывести [math]uAz[/math], из [math]A[/math] можно вывести [math]vAy[/math] и [math]x[/math]. (Заметим, что [math]q = 0^{k! + k}1^{k! + k}2^{k! + k}[/math], то есть [math]n = k! + k[/math].)

TreeA.png

Теперь рассмотрим слово [math]0^{k+k!} 1^k 2^k[/math], в котором отмечены все двойки. Аналогичными рассуждениями мы получаем, что слово [math]q[/math] принадлежит языку, а также существует нетерминал [math]B[/math] такой, что с помощью него можно породить слово [math]q[/math], где [math]|v|=|y|=p[/math].

TreeB.png

Заметим, что поддеревья, соответствующие [math]A[/math] и [math]B[/math] — разные деревья и одно не является потомком другого, иначе или в поддереве [math]A[/math] были бы двойки, или в поддереве [math]B[/math] были нули - что не является правдой.


Пусть в этих двух случай дерево разбора было одно и тоже, то с помощью [math]A[/math] и [math]B[/math] можно породить слово вида [math]0^{k+k!+t} 1^{k+k!+t+p} 2^{k+k!+p}[/math], которое не принадлежит языку.

В результате мы имеем 2 дерева разбора для одного слова. Значит, язык существенно неоднозначен.